函数的性质：单调性 · 奇偶性 · 周期性 · 对称性

若恒有 f(x₁) < f(x₂),称 f(x) 在 D 上单调递增;若恒有 f(x₁) > f(x₂),称 f(x) 在 D 上单调递减。这是「任取」——不是取一组特殊值验证,而是对区间内任意一对 x₁<x₂ 都要成立。

判断单调性的三种方法

复合函数「同增异减」举例: y=f(u), u=g(x)。若 g 在某区间递增、f 在对应区间也递增 → 复合递增;若 g 递增而 f 递减(或反过来)→ 复合递减。判断前要先求定义域,再分析内层 u=g(x) 的单调区间,再对照外层 f(u) 在该 u 值范围内的单调性。

⚠ 单调区间必须是定义域的子集,写超出定义域的区间是错的。多个不相邻的单调递增区间,书写时要用「和」或逗号分隔,例如「[0,1] 和 [3,4]」或「[0,1],[3,4]」,绝不能写成 [0,1]∪[3,4]——因为并集里的点可以任意取,但 x₁∈[0,1]、x₂∈[3,4] 时函数不一定满足单调关系(∪ 意味着可以跨区间比较,而单调性只在同一区间内成立)。

判断奇偶性的第一步、也是最容易漏的一步:先检查定义域是否关于原点对称。若定义域不对称(比如 [−1,2]、(0,+∞)),函数直接判非奇非偶,连 f(−x) 都不用算。定义域对称之后,才去比较 f(−x) 与 f(x)、−f(x) 的关系。

奇函数在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0。由 f(−x)=−f(x),令 x=0 得 f(0)=−f(0),即 2f(0)=0 → f(0)=0。这是判断「含参奇函数」求参数的常用突破口。反过来:f(0)≠0 的函数一定不是奇函数(但可能是偶函数)。

奇偶性的运算规律

⚠ 最高频丢分点:上来就算 f(−x),却没先检查定义域对不对称。定义域为 (−1,1]、[−2,2)、(0,+∞) 这类明显不对称的,直接判非奇非偶,不需要再验证代数式。

周期性说明函数图象每隔 |T| 就把自己「复印」一遍。若 T 是周期,则 kT(k 为非零整数)也是周期,通常题目要求的是最小正周期。

常见抽象条件 → 周期(记结论,更要会推)

推导的通用手法:把条件中的 x 用 x+a(或适当的替换)再代一次,反复代入直到左右两边变回 f(x) 本身,数一数总共平移了多远,那就是周期。

⚠ 求出「f(x+2a)=f(x)」只能说明 2a 是一个周期,不能不加证明地断言它是最小正周期——严格来说需额外说明(高中阶段通常按题目要求的周期直接使用即可,但概念上要清楚「一个周期」≠「最小正周期」)。

轴对称:把 a 看作对称轴的位置,x 是「偏离量」,向左偏 x 与向右偏 x 函数值相等,图象对折后完全重合。偶函数就是 a=0 的轴对称特例:f(x)=f(−x)。

中心对称:关于点 (a,b) 对称,是指以 (a,b) 为中点,对称的两点纵坐标之和恒为 2b。奇函数就是 (0,0) 的中心对称特例:f(x)+f(−x)=0。

⚠ 轴对称与中心对称形式很像,极易记混:轴对称是「两值相等」(f=f),中心对称是「两值之和为常数」(f+f=常数)。看到「和为定值」就往中心对称想,看到「相等」就往轴对称想。

这是把三条性质串起来的高频综合考法:同时具备「一种对称」+「一种奇偶」,能反推出周期。

以「偶函数 + 关于 x=a 轴对称」推 T=2a 为例:偶函数:f(−x)=f(x)。轴对称:f(a+x)=f(a−x),即 f(x)=f(2a−x)。两式联立:f(2a−x)=f(x)=f(−x),所以 f(2a−x)=f(−x)。令 t=−x,则 f(2a+t)=f(t),即 T=2a 是一个周期。

推导的核心技巧:把「对称性」写成「f(某式子)=f(另一式子)」的形式,把「奇偶性」也写成同样形式,然后互相替换,消掉中间变量,凑出 f(x+T)=f(x) 的样子。

⚠ 这类题最容易在「符号」上翻车:奇函数要多写一个负号 f(−x)=−f(x),中心对称要留意是 f+f=2b 还是 f=−f(2a−x)。动手前先把每个条件都写成统一的「等号两边是函数值」的形式,再联立。

套路:把陌生自变量「搬」到同一个单调区间

给出 f(x₁)、f(x₂)…要比较大小,或 f(某式) 与 f(另一式) 比较解不等式,核心步骤:

例:f(x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0,+∞) 上单调递增,比较 f(−3) 与 f(2)。解:偶函数 → f(−3)=f(3)。在 [0,+∞) 上递增,且 3>2,所以 f(3)>f(2),即 f(−3)>f(2)。

例(不等式):f(x) 是奇函数,在 (0,+∞) 上递减,解 f(x)<f(2)。奇函数在对称区间 (−∞,0) 上也递减(奇函数两侧单调性相同)。结合 f(0) 的位置分类讨论 x 的正负,再利用单调性脱掉 f,转成关于 x 的普通不等式求解(需结合定义域讨论)。

⚠ 脱去 f 符号解不等式时,必须先确认这一段是递增还是递减——递增时不等号方向不变,递减时不等号要翻转。同时别忘了检验自变量是否落在定义域和题目给定的单调区间内。

题型A — 判断/求单调区间

触发信号:「求 f(x) 的单调递增(减)区间」「判断 f(x) 在某区间上的单调性」。

标准动作:先求定义域;定义法作差 f(x₁)−f(x₂) 判号,或用复合函数「同增异减」拆内外层分析;写答案时区间要写在定义域内,多个区间用「和」或逗号分隔。

示例(带解):求 y=1/(x−1) 的单调区间。定义域 x≠1。任取 x₁<x₂ 且同侧,y₁−y₂=1/(x₁−1)−1/(x₂−1)=(x₂−x₁)/[(x₁−1)(x₂−1)]。同侧时分母恒正,x₂−x₁>0,故 y₁−y₂>0,y₁>y₂,是减函数。单调递减区间为 (−∞,1) 和 (1,+∞)(不能写并集)。

陷阱:忘记先求定义域;把两个递减区间写成 (−∞,1)∪(1,+∞) 声称"整体递减"(反例:取 x₁=0,x₂=2,f(0)=−1<f(2)=1,不满足递减,说明两区间不能合并判断)。

题型B — 判断奇偶性

触发信号:「判断 f(x) 的奇偶性」,给出解析式或抽象条件。

标准动作:第一步定义域是否关于原点对称(不对称直接非奇非偶);对称则算 f(−x),与 f(x)、−f(x) 比较下结论。

示例(带解):判断 f(x)=x³−2x 的奇偶性。定义域 R,关于原点对称。f(−x)=(−x)³−2(−x)=−x³+2x=−(x³−2x)=−f(x)。所以 f(x) 是奇函数。

陷阱:定义域不对称却继续算 f(−x);符号展开时漏负号(尤其奇次项);把「既不是奇函数也不是偶函数」误写成「既是奇函数又是偶函数」。

题型C — 抽象函数求周期

触发信号:给出 f(x+a)=−f(x) 或 f(x+a)=1/f(x) 等抽象递推式,求周期或求某个远处的函数值。

标准动作:把条件中的 x 换成 x+a 再代一次,反复代入直到出现 f(x+kT)=f(x);求某点函数值时,先用周期把自变量搬回一个「已知区间」再代入。

示例(带解):已知 f(x+2)=−f(x),且 x∈[0,2] 时 f(x)=2x−x²。求 f(7)。由 f(x+2)=−f(x) 得 f(x+4)=−f(x+2)=f(x),周期 T=4。f(7)=f(7−4)=f(3)=f(3−4)=f(−1)。再用 f(x+2)=−f(x):f(−1)=f(1−2)... 更直接:f(3)=f(1+2)=−f(1)=−(2×1−1²)=−1。所以 f(7)=f(3)=−1。

陷阱:代入次数算错,导致周期翻倍或减半;求值时没把自变量真正搬回给定的已知区间就强行代公式。

题型D — 由对称性求解析式中的参数或函数值

触发信号:「f(x) 满足 f(a+x)=f(a−x)」或「图象关于直线 x=a 对称」「关于点 (a,b) 对称」。

标准动作:写出 f(a+x)=f(a−x)(轴)或 f(a+x)+f(a−x)=2b(中心),代入具体 x 值(常取使等式两边都落在已知区间的 x)求参数或函数值。

示例(带解):f(x) 图象关于直线 x=2 对称,且 x≤2 时 f(x)=x²−4x。求 f(5)。由对称性 f(2+x)=f(2−x),令 x=3:f(5)=f(−1)。−1≤2,代入 f(−1)=(−1)²−4(−1)=1+4=5。所以 f(5)=5。

陷阱:轴对称与中心对称的式子混用(该用相等的时候用了求和公式);代入的 x 值没有使目标点落到「已知解析式」的那一侧。

题型E — 对称+奇偶联动求周期

触发信号:同时给出「奇函数(或偶函数)」和「关于某直线/某点对称」两个条件,求周期或求远处函数值。

标准动作:把奇偶性和对称性都写成「f(式子)=f(式子)」或「f(式子)=−f(式子)」的形式,联立消元,凑出 f(x+T)=f(x)。

示例(带解):f(x) 是奇函数,且关于直线 x=1 对称(f(1+x)=f(1−x))。求周期。由对称性 f(1+x)=f(1−x);由奇函数 f(1−x)=−f(x−1)。所以 f(1+x)=−f(x−1)。令 t=x−1:f(t+2)=−f(t)。再平移一次:f(t+4)=−f(t+2)=f(t)。周期 T=4。

陷阱:忘记奇函数需要多用一次「变负号」;推导中变量代换搞混,导致平移量算错(把 T=4a 错记成 T=2a,或反之)。

题型F — 利用性质比较大小 / 解不等式

触发信号:「比较 f(m) 与 f(n) 的大小」「解不等式 f(某式)<f(另一式)」,常配合"偶函数+单调区间"或"周期+单调区间"。

标准动作:用奇偶性/周期性把每个自变量搬到同一个已知单调区间内,再按该区间的单调性直接比较;解不等式时脱去 f 后要注意单调性方向決定不等号是否翻转,并检验定义域。

示例(带解):f(x) 是偶函数,在 [0,+∞) 上递减。解不等式 f(x−1)<f(2)。由偶函数得 f(x−1)=f(|x−1|),f(2)=f(|2|)=f(2)。在 [0,+∞) 递减,f(|x−1|)<f(2) 等价于 |x−1|>2(递减,不等号翻转),解得 x>3 或 x<−1。

陷阱:偶函数递减区间在 [0,+∞),脱 f 时忘记先取绝对值统一到该区间;递减脱 f 忘记翻转不等号方向。

① 多个单调区间之间要用「和」或逗号连接,绝不能写 ∪——∪ 暗示可以跨区间比较,而单调性只在各自区间内成立。

② 判断奇偶性第一步永远是看定义域是否关于原点对称,不对称直接非奇非偶,不需要再算 f(−x)。

③ 奇函数若在 x=0 处有定义,则 f(0)=0 是必然结果(由 f(−x)=−f(x) 代 x=0 推出);但 f(0)=0 不能反推函数一定是奇函数。

④ 轴对称是「两值相等」f(a+x)=f(a−x);中心对称是「两值之和为定值」f(a+x)+f(a−x)=2b。两者形式相近,极易记混。

⑤ 由 f(x+2a)=f(x) 只能说明 2a 是一个周期,不代表就是最小正周期,书写结论要严谨。

⑥ 抽象函数递推求周期时,代入次数容易数错,建议每代一次就写清楚代入的是哪个 x,平移了多少。

⑦ 复合函数单调性用「同增异减」判断前,必须先求复合函数的定义域,只在定义域内讨论内外层的单调区间。

⑧ 脱去 f 符号解不等式时,递减函数要把不等号方向翻转,别直接照抄原不等号方向。

⑨ 比较大小前一定先确认所比较的两点是否落在同一个已知单调区间内,不同区间不能直接比较,需要先用奇偶/周期「搬家」。

⑩ 偶函数图象关于 y 轴对称,奇函数图象关于原点对称——这两者不要说反,尤其在口头表述时容易脱口说错。

① 奇偶性、轴对称、中心对称本质是同一件事的特例:轴对称 f(a+x)=f(a−x) 令 a=0 就是偶函数;中心对称 f(a+x)+f(a−x)=2b 令 a=0,b=0 就是奇函数。把偶/奇看作「对称中心/对称轴恰好落在原点」的特殊对称性,能一眼看穿很多"新定义"压轴题的真面目。

② 周期性是「重复的对称」:两次轴对称的叠加会产生周期(关于 x=a、x=b 都轴对称 → T=2|a−b|),两次中心对称的叠加也会产生周期,而"一次轴对称+一次中心对称"或"奇偶性+一次对称"同样能拼出周期。记住底层逻辑——两次镜像 = 一次平移,就不必死记一堆结论表,现推也很快。

③ 单调性是局部的,对称性/周期性是全局的桥梁:综合题的通用解法本质上都是"用全局性质(奇偶/周期/对称)把陌生点等价变换到局部性质(单调性)已知的区间内"。做题时先问自己:这道题的单调区间是哪一段?再想办法把所有陌生自变量都倒腾进那一段。

④ 抽象函数周期问题都是"代入-回代-凑齐"三步:把递推式里的 x 换成 x+a(或需要的量)反复代入,直到两边都变成 f(某个含 T 的式子)=f(x) 的形式。代入次数不确定时,不妨先猜 T=2a 或 4a,验证代入是否自洽,比死抠符号推导更快找到方向。

⑤ 解不等式 f(□)<f(△) 时,"脱 f" 是最后一步而不是第一步:先用性质把 □、△ 都变换到同一个已知单调区间的自变量形式(常配合绝对值把偶函数两支统一成一支),确认单调方向后才脱去 f 符号得到普通不等式,最后别忘记和原定义域取交集。