碰撞、爆炸、反冲、人船模型、子弹打木块——这一整块都靠一个万能守恒撑起来:系统动量守恒。难点从来不是公式,而是「方向符号」「守恒条件」和「碰后合理性」。这页把原理讲透,把每种题型的触发信号+标准动作给你,再用七个动画把物理拨到你眼前。
动量 p=mv,单位 kg·m/s,方向与速度同向。一维问题里,先规定一个正方向,与它同向为正、反向为负——这是全章不出错的地基。
合外力的冲量 = 动量的变化量。F 是合外力,方向与 Δp 同向。求「平均作用力」「碰撞时间」时就用它:F = Δp / t。变力时用 I=面积(F-t 图线下面积)。
成立条件: 系统所受合外力为零(或某方向合外力为零→该方向动量守恒)。碰撞、爆炸「瞬间」:内力(冲击力)远大于外力(重力、摩擦),所以系统动量近似守恒——这是能在有摩擦/有重力时照样用动量守恒的理由。
⚠ 动量是矢量,不定正方向必错;反向速度一定代负号。「合外力为零」是内部相互作用(内力)不影响总动量,内力再大也守恒。
【题】质量 m=0.5kg 的小球以 v₀=20m/s 的速度水平垂直打在竖直墙壁上,以 v₁=15m/s 的速度沿原路弹回,小球与墙的接触时间 t=0.01s。求墙壁对小球的平均作用力大小。
【题】质量 M=100kg 的小车静止在光滑水平面上,车上站着质量 mp=50kg 的人。人相对地面以 v人=4m/s 的水平速度从车上跳下(跳下方向与车原静止方向为同一水平线)。求小车获得的速度大小和方向。
| 类型 | 动量 | 动能 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 弹性碰撞 | 守恒 | 守恒(不损失) | 分开,各有速度 |
| 非弹性碰撞 | 守恒 | 部分损失 | 分开,损失介于两者间 |
| 完全非弹性 | 守恒 | 损失最多 | 粘在一起共速 |
三种特例(秒杀选择题): ① m₁=m₂:速度交换(v₁′=0,v₂′=v₀);② m₁≫m₂:大球几乎不变,小球以≈2v₀弹出;③ m₁≪m₂:小球原速反弹(v₁′≈−v₀),大球几乎不动。
碰后两物粘在一起以 v共 运动,损失的动能变成内能/形变热,在三类碰撞里损失最多。
⚠ 三类碰撞动量都守恒,区别只在动能。别把完全非弹性(共速)当弹性,也别用错公式。
① 动量守恒: 碰前总动量 = 碰后总动量(必须成立)。
② 动能不增: 碰后总动能 ≤ 碰前总动能(碰撞不会凭空多出动能;爆炸才会增)。
③ 方向合理: 同向碰撞后,前面的物体速度 ≥ 后面的物体速度(后球不能穿透追上前球);正碰后不能出现「反常追撞」。
⚠ 一个答案哪怕动量守恒,只要动能变多或后球追上前球,就是不合理,必须舍去。
【题】在光滑水平面上,质量 m₁=2kg 的小球以 v₀=3m/s 的速度与静止的质量 m₂=1kg 的小球发生弹性正碰。求碰后两球的速度。
【题】在光滑水平面上,质量 m₁=1kg 的滑块以 v₁=6m/s 的速度与静止的质量 m₂=2kg 的滑块相碰,碰后两者粘在一起共同运动。求碰后共同速度及碰撞中损失的动能。
爆炸: 内部释放能量炸成几块,动量守恒(常初动量为0),动能增大(化学能转入)。
反冲: 一部分向后喷出,主体向前(发射、喷气、开枪)。动量守恒,反向取负:m₁v₁ = m₂v₂(大小)。
人在静止的船上走动,系统初动量为0 → 全程动量守恒 → 质心位置不动。人走距离 x人、船退距离 x船,满足:
位移与质量成反比:谁重谁动得少。这也是「反冲」的位移版本。
子弹打木块: 碰撞瞬间动量守恒求 v共 → 能量守恒 Q=½m₁v₀²−½(m₁+m₂)v共² → Q=f·s相对求钻入深度。
弹簧夹两物: 弹簧最短=两端共速(动量守恒求 v共),此刻弹性势能最大(能量守恒求 Ep);弹开恢复自然长度像弹性碰撞。
⚠ 顺序:先动量后能量。动量定衔接速度,能量算损失/势能。反了往往卡死。
【题】质量 M=1000kg 的炮车(不含炮弹)静止在光滑水平面上,发射质量 m=10kg 的炮弹。炮弹出膛时相对地面的速度 v=500m/s(沿炮车前方水平方向)。求炮车后坐的速度大小。
【题】质量 m人=50kg 的人站在质量 m船=200kg、船长 L=6m 的静止小船一端,湖面光滑无摩擦。人从船的一端走到另一端,求人和船分别相对地面移动的距离。
【题】质量 M=0.99kg 的静止木块放在光滑水平面上,质量 m=0.01kg 的子弹以 v₀=200m/s 的水平速度射入木块,子弹在木块中留下深度 d=0.1m 后与木块一起以共同速度运动。求共同速度及子弹受到木块的平均阻力。
蓝球 m₁ 与红球 m₂ 相向或同向运动。物理精确:弹性用末速度公式、完全非弹性共速、非弹性取恢复系数 e=0.5。
右向为正(蓝),左向为负(红)。上排=碰前 p₁+p₂,下排=碰后 p₁′+p₂′。两条「总动量」黑条一样长 → 守恒。跟着互动1的参数联动。
全部按弹性碰撞末速度公式计算,看三种质量比下碰后谁快谁慢、谁反弹。
m人·x人 = m船·x船,x人+x船=L(船长)。船越重退得越少。绿虚线=质心,始终纹丝不动。
阴影面积随播放长大 = 已获得的冲量 = 动量增量 Δp。恒力时是矩形面积 F×t。物体初速为0。
初动量为0 → m₁v₁ = m₂v₂(大小)。轻块飞得快、重块飞得慢,两块动量大小恒相等、方向相反。
m₂ 初始静止。拖动碰后速度,实时判定这组结果是否物理上可能(三个✓才合理)。试试让 v₂′>v₁ 又违反动能看看。
触发信号:给作用时间/碰撞时间,求平均力,或给力求速度变化(墙壁反弹、接球、缓冲)。
标准动作:定正方向 → Ft=Δp=mv′−mv → 求 F=Δp/t;反弹类 Δp=m·v′−(−m·v)=m(v′+v)。
示例(带解):质量 m=0.2kg 的球以 v=5m/s 撞墙原速率反弹,接触 t=0.02s。取离墙为正:Δp=0.2×5−0.2×(−5)=2 kg·m/s,F=Δp/t=2/0.02=100N。
陷阱:反弹忘了速度反向要变号(错算成 m(v′−v));F 是合外力方向 = Δp 方向。
触发信号:问「此过程动量守不守恒」「哪个方向守恒」。
标准动作:找系统受的外力 → 合外力是否为0?若某方向(如水平)合外力为0 → 该方向动量守恒;碰撞/爆炸瞬间内力≫外力 → 近似守恒。
示例(带解):光滑水平面上两滑块相碰:水平合外力=0 → 水平动量守恒。斜面上小球碰撞:水平有重力分量,一般不守恒,但碰撞极短瞬间近似守恒。
陷阱:把「有内力」当成不守恒(内力不破坏守恒);漏掉「某方向守恒」这种部分守恒。
触发信号:「弹性碰撞」「无动能损失」「光滑硬球相碰」。
标准动作:m₂静止直接套 v₁′=(m₁−m₂)/(m₁+m₂)v₀、v₂′=2m₁/(m₁+m₂)v₀;认特例秒杀。一般情形动量+动能双守恒联立。
示例(带解):m₁=1kg,v₀=6m/s,弹性碰静止 m₂=2kg。v₁′=(1−2)/3×6=−2m/s(反弹),v₂′=2×1/3×6=4m/s。验:p前=6,p后=1×(−2)+2×4=6 ✓;Ek前=18,Ek后=½×1×4+½×2×16=2+16=18 ✓。
陷阱:公式记反(分子分母、系数);忘了 v₁′ 可能为负(反弹)。
触发信号:「碰后一起运动/粘在一起」「嵌入」「挂钩相连」。
标准动作:动量守恒求 v共=(m₁v₁+m₂v₂)/(m₁+m₂);损失动能 ΔEk=½m₁v₁²+½m₂v₂²−½(m₁+m₂)v共²。
示例(带解):m₁=2kg,v₁=6m/s 撞静止 m₂=4kg 并粘住。v共=2×6/6=2m/s。ΔEk=½×2×36−½×6×4=36−12=24J。
陷阱:损失动能算成「碰前动能」;把共速当各自不同速度。
触发信号:人在船/车上走动,冰面推物,气球上人爬绳——初动量为0的相对移动。
标准动作:动量守恒(初=0)→ m人·x人=m船·x船,且 x人+x船=相对位移L,联立求各自对地位移。
示例(带解):m人=60kg 在 m船=120kg 长 L=4m 的船上从一端走到另一端。60·x人=120·x船,x人+x船=4 → x人=2×x船,3x船=4,x船=4/3m,x人=8/3m。
陷阱:把「船长」当成人的对地位移;方向搞反(人和船位移相反)。
触发信号:炸裂成几块、开枪后坐、火箭喷气、发射小球。
标准动作:写初动量(常为0)守恒;反向取负;两块 m₁v₁=m₂v₂(大小),动能由化学能补充可增大。
示例(带解):静止炮弹炸成 m₁=3kg 向左、m₂=1kg 向右。若 v₂=30m/s,则 3·v₁=1·30 → v₁=10m/s(向左)。总动量仍为0 ✓。
陷阱:忘了初动量为0;方向符号错;误以为动能也守恒(爆炸动能增大)。
触发信号:给出「碰后速度」问是否可能,或多选题里排除不合理选项。
标准动作:三道门槛依次查:① 动量守恒?② 碰后动能≤碰前?③ 方向合理(前物速度≥后物,不穿透)?三个都过才可能。
示例(带解):m₁=m₂=1kg,v₀=6撞静止。若说碰后 v₁′=4、v₂′=2:p前=6,p后=6 ✓;Ek前=18,Ek后=½×16+½×4=10<18 ✓;但 v₁′=4>v₂′=2 → 后球追上前球,穿透,不合理 ✗。
陷阱:只查动量守恒就下结论;忘了动能不能增、后球不能超前球。
① 动量是矢量!做题第一步先定正方向,反向速度代负号,否则符号全错。
② 动量守恒条件是系统合外力为0;碰撞/爆炸瞬间靠「内力≫外力」近似守恒。内力再大也不破坏守恒。
③ 三类碰撞动量都守恒,区别只在动能。完全非弹性(共速)损失动能最多,别和非弹性、弹性混。
④ 完全非弹性损失动能 = 碰前动能 − 碰后共速动能,不是碰前动能本身。
⑤ 碰后速度要合理:动能不能大于碰前(除非爆炸);同向碰后前物速度≥后物,后球不能追上/穿透前球。
⑥ 弹性碰撞末速度公式只在 m₂ 初静止时直接套;一般情形要动量+动能双守恒联立。
⑦ 人船模型位移与质量成反比,人和船位移方向相反,x人+x船=相对位移(常为船长)。
⑧ 动量定理 F 是合外力,方向与 Δp 同向;反弹类 Δp=m(v′+v),别漏符号。
① 恢复系数 e 一把抓所有碰撞: 定义 e = (v₂′−v₁′)/(v₁−v₂) = 碰后相对速度 / 碰前相对速度。弹性 e=1、完全非弹性 e=0、非弹性 0<e<1。弹性碰撞速度公式不用背——动量守恒 + e=1 两式联立直接推出「碰前相对速度大小 = 碰后相对速度大小、方向相反」。
② 动量守恒的本质是「内力成对抵消」: 牛顿第三定律保证内力等大反向、冲量互相抵消,所以只要没有净外力冲量,系统总动量恒定。理解这一点,「为什么内力不破坏守恒」就再也不会疑惑。
③ 质心系是隐藏视角: 系统总动量 = 总质量 × 质心速度。动量守恒 ⇔ 质心速度不变。人船模型「质心不动」正是初动量为0的直接推论。会用质心,很多爆炸/反冲/人船题一眼看穿。
④ 动量与动能是「两把不同的尺」: 动量线性(∝v)、动能平方(∝v²)。同样动量下,质量大的动能小——这解释了为什么完全非弹性损失动能:动量被强制共享,而动能因平方关系「被压低」。列「动量守恒 + 动能账」两张表,压轴题不丢分。
⑤ 选锅顺序:先动量、后能量。 综合题里碰撞段先用动量守恒求衔接速度(此刻不知道损失多少,能量段做不了),再用能量守恒算生热/势能。动量定速度与方向,能量算损失与势能。顺序反了往往卡死。
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