数学 · 基本不等式攻坚包

基本不等式与最值

高考里最爱悄悄考、又最容易掉进坑的一块。一个公式 a+b≥2√ab,却能变出十几种题型。这一页把原理讲成人话,再用动画让你「看见」为什么均值不等式一定成立、为什么要凑定值。

🗣️ 一句话: 两个正数,它们的平均永远不小于它们的几何平均——即 (a+b)/2 ≥ √ab。想求最值,就想办法让「和」或「积」变成一个固定的数,另一个就被顶到了极限。口诀记死:一正、二定、三相等。

一、核心原理:a+b≥2√ab 到底在说什么

基本不等式: 当 a>0, b>0 时,a + b ≥ 2√ab,当且仅当 a=b 时取等号。
换句话说:算术平均 (a+b)/2 ≥ 几何平均 √ab。

🗣️ 为什么一定成立? 因为 (√a−√b)² ≥ 0,展开就是 a − 2√ab + b ≥ 0,移项得 a+b ≥ 2√ab。平方永远 ≥0,所以不等式永远成立;只有 √a=√b(即 a=b)时那个平方才等于 0,这就是取等条件。

用它前必须过的三道关:「一正、二定、三相等」

① 一正: a、b 必须都是正数。出现负数就不能直接套,要先变形或换元。

② 二定: 要求最值,和 a+b 或积 ab 里必须有一个是定值(固定的常数)。凑不出定值,不等式给不出最值。

③ 三相等: 取等条件 a=b 必须能真的取到(在定义域内)。取不到,那个「最值」就是假的。

常见变形(全部由基本不等式推出)

ab ≤ ((a+b)/2)²　　(积 ≤ 和的一半的平方)

a² + b² ≥ 2ab　　(对任意实数都成立)

(a+b)² ≥ 4ab　　(展开即 a²+b² ≥ 2ab)

a/b + b/a ≥ 2　　(a,b 同号,取等当 a=b)

求最值的两条主线(必须分清)

🗣️ 和为定值 → 积有最大值: 若 a+b 固定,则 ab ≤ ((a+b)/2)²,当 a=b 时 ab 最大。
🗣️ 积为定值 → 和有最小值: 若 ab 固定,则 a+b ≥ 2√ab,当 a=b 时 a+b 最小。
记忆:「和定积最大,积定和最小」。 要哪个最值,就把另一个凑成定值。

凑配技巧(高考真正考的地方)

① 凑定值: 靠加减常数、拆项、乘除同一个数,把和或积「凑」成固定值。

② 拆项: 把一项拆成两项,好和别的项配对出定积。例如 x + 4/x 直接就是「积 x·(4/x)=4 为定值」。

③「1」的整体代换: 已知 1/a + 1/b = 1,求 a+b,把 a+b 乘上「1」= (1/a+1/b),展开再用不等式。这是最高频的技巧。

④ 分离常数: 分式型如 (x²+3)/(x+1) 先做多项式除法分离出常数,剩下能用不等式的部分。

⚠ 多次使用基本不等式时,每一处的取等条件必须同时成立,否则合起来的「最值」取不到,是错的。

🗣️ 与函数/实际问题结合: 面积、体积、成本、用料最省这类应用题,几乎都是「设变量 → 写出目标式 → 凑定值 → 用基本不等式」。建模时别忘了变量的实际范围(正数)和取等能否达到。

二、几何证明:看见「半径 ≥ 半弦」

基本不等式有一个绝美的几何图:在直径为 a+b 的半圆里,半径 = (a+b)/2,而某条半弦 = √ab,半径永远 ≥ 半弦——这就是 (a+b)/2 ≥ √ab。拖动 a、b,看半弦怎么也顶不过半径,只有 a=b(弦落在圆心正上方)时二者相等。

a = a b = b

半圆直径 = a+b。红=半径 (a+b)/2,绿=半弦 √ab(在分界点竖起的弦到圆的高度)。半径 ≥ 半弦恒成立,仅 a=b 时相等。

三、和定积最大 / 积定和最小(可视化)

这是基本不等式最核心的用法。左图:固定 a+b,拖 a 看积 ab 什么时候最大;右图:固定 ab,拖 a 看和 a+b 什么时候最小。你会发现:都在 a=b 时取到极值。

和定 → 积最大积定 → 和最小拖 a = a

和定模式:a+b=10 固定,b=10−a,看 ab;积定模式:ab=16 固定,b=16/a,看 a+b。柱子越高代表越大。

四、「1」的整体代换(最高频技巧)

已知 1/a + 1/b = 1(a,b>0),求 a+b 的最小值。核心一步:把 a+b 乘上「1」,而这个「1」正好是 1/a+1/b。点「下一步」看整个凑配过程。

最终:a+b 的最小值 = 4,当且仅当 a=b=2 时取到(此时 1/a+1/b=1/2+1/2=1 成立,取等可达)。

五、凑配定值步进器

给你一个式子,不能直接用不等式——先「凑」出定值,再套 a+b≥2√ab。选一个式子,一步步看怎么凑。

x + 4/x　(x>0) x + 1/(x−1)　(x>1) (x²+3)/(x+1)　(x>−1)

六、取等条件检查器

求出「最值」后,最容易被扣分的一步:验证取等条件 a=b 能不能真的达到。输入一道题的取等约束,检查器判断这个最值是真的还是假的。

x+4/x, x>0 → x=2 可取 x+4/x, x≥3 → x=2 不在范围! sinx+1/sinx, 0<x<π → 需 sinx=1

目标式-

取等条件-

是否可达-

规则:先按不等式算出候选最值与取等点,再检查取等点是否落在定义域内。落不进去,这个最值就取不到(是假最值)。

七、y = x + 1/x 型函数(x>0 时 ≥2)

对勾函数 y = x + 1/x 是基本不等式的「代言人」。x>0 时,由 x·(1/x)=1 是定值,得 y ≥ 2√(x·1/x) = 2,最小值 2 在 x=1 取到。拖动看动点如何滑到谷底。

x = x

曲线 y=x+1/x(x>0)。最低点 (1,2)。x 偏离 1 越远,y 越大——这正是「取等仅在 a=b 即 x=1/x 时」的图像证据。

八、全题型地图

题型	触发信号	标准动作
直接求最值	形如 x+k/x、ab 求范围	验正数→找定值→套 a+b≥2√ab
「1」的代换	已知 1/a+1/b=定值,求 a+b 或类似	目标乘「1」=已知式,展开再用不等式
凑配定值	直接凑不出定值,需加减/拆项	拆项或补常数把积/和凑成定值
判断能否取等	带定义域限制(x≥3、整数等)	求取等点,检查是否在范围内
实际应用建模	面积/用料/成本最省	设变量→写目标式→凑定值→取最值

① 直接求最值(带解)

x>0,求 x + 4/x 的最小值。
两项之积 x·(4/x)=4 是定值(定!),且 x>0(正!)。
由基本不等式:x + 4/x ≥ 2√(x·4/x) = 2√4 = 4。
取等当 x = 4/x,即 x²=4,x=2(相等可达)。最小值 = 4。⚠ 陷阱:如果限制 x≥3,则 x=2 取不到,此时要改用单调性求,最小值不是 4。

②「1」的整体代换(带解)

a,b>0 且 1/a + 2/b = 1,求 a+b 的最小值。
a+b = (a+b)·1 = (a+b)(1/a + 2/b) = 1 + 2a/b + b/a + 2 = 3 + (2a/b + b/a)。
对 2a/b + b/a ≥ 2√(2a/b · b/a) = 2√2。
所以 a+b ≥ 3 + 2√2。取等当 2a/b = b/a,即 b=√2·a,代回约束可解出正数解(可达)。最小值 = 3 + 2√2。

③ 凑配定值(带解)

x>1,求 x + 1/(x−1) 的最小值。
直接用不看:x·1/(x−1) 不是定值。凑: x = (x−1) + 1。
原式 = (x−1) + 1/(x−1) + 1。现在 (x−1)·1/(x−1)=1 是定值,且 x−1>0。
(x−1) + 1/(x−1) ≥ 2,故原式 ≥ 2+1 = 3。取等当 x−1 = 1/(x−1),即 x=2(可达)。最小值 = 3。

④ 判断能否取等(带解)

x≥3,求 x + 4/x 的最小值。
不等式给出候选最值 4 在 x=2 取——但 x=2 不满足 x≥3,取不到!
改看单调性:f(x)=x+4/x 在 x>2 上单调递增,故在 x≥3 上最小值在端点 x=3:f(3)=3+4/3 = 13/3。⚠ 一旦取等点不在定义域,必须转用单调性,不能硬报不等式的值。

⑤ 实际应用建模(带解)

用 40 米篱笆围一块矩形菜地(一面靠墙不用围),求最大面积。
设靠墙边长 x,另两条垂直边各 y,则 x + 2y = 40。面积 S = x·y。
由 x + 2y = 40 定值,x·2y ≤ ((x+2y)/2)² = 400,即 2S ≤ 400·... 更直接:S = x·y,x=40−2y,S=(40−2y)y。凑:x·(2y) 和为 40 定值 → x·2y ≤ 400 → 2S ≤ 400... 取 x=2y 即 x=20,y=10,S 最大 = 200 平方米。取等当 x=2y(可达)。

九、易错集

⚠ ① 忘记「正数」前提。 a、b 有负数时直接套 a+b≥2√ab 是错的。要么先换元变正,要么对负数部分单独讨论。

⚠ ② 定值没凑出来就用。 x+k/x 里 x·(k/x)=k 是定值才行;若是 x+k/x² 这类积不是定值,直接用不等式得到的不是最值。

⚠ ③ 等号取不到还硬报。 取等点必须在定义域内。带 x≥3、整数、区间限制时,先验取等点,取不到就转单调性。

⚠ ④ 多次用不等式,等号不一致。 一道题里用了两次(或以上)基本不等式,各自的取等条件必须能同时满足;否则合起来的界取不到,答案偏大/偏小。

⚠ ⑤ 求最大值却用了「≥」的方向。 分清:积定 → 和有最小(≥);和定 → 积有最大(≤)。方向搞反直接错。

十、尖子生拔高视角

① 三元及以上均值不等式: a+b+c ≥ 3·∛(abc)(a,b,c>0),取等当 a=b=c。凑三项定积时用得上。

② 权方和 / 柯西不等式补位: 遇到 1/a+4/b+9/c 型带平方系数的最值,柯西 (1²/a+2²/b+3²/c)(a+b+c)≥(1+2+3)² 往往比硬凑更快。

③「1」的代换是通法: 任何「已知某线性/分式约束 = 常数,求另一线性式最值」,几乎都能乘「1」展开。先把约束写成 =1 的形式。

④ 取等一致性是拔高分水岭: 多次放缩时,把每处取等条件列成方程组,解得同时成立才是真最值;解不出就说明界不可达,得换方法。

⑤ 数形结合验证: 对勾函数 y=x+k/x 的图像、均值不等式的半圆图,都能在考场上快速判断最值方向与是否可达,防止方向错误。

十一、自测(先想,再点开)

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