带电粒子在复合场中的运动

三种力，各有各的脾气

⚠ 洛伦兹力的大小 qvB 随速度 v 变，方向随 v 转——所以它单独作用时给出圆周(大小不变、方向永远垂直)。它是三种力里唯一「不做功」的力，能量分析时直接划掉。

四大典型情境(务必记熟)

① 速度选择器: 电场力与洛伦兹力平衡 qE = qvB → v = E/B。只有这个速度的粒子直行通过，与电荷种类、正负、质量全无关——这是它能「选速度」的原因。

② 重力与电场力平衡: 若 qE = mg(方向相反)，则重力和电场力抵消，粒子在磁场中合力只剩洛伦兹力 → 做匀速圆周运动，半径 r = mv/(qB)。

③ 三力都有且平衡: 重力、电场力、洛伦兹力三者合力为零 → 粒子做匀速直线运动(因为洛伦兹力要求速度方向、大小都不变，合力才能持续为零)。

④ 回旋加速器 / 磁流体发电机: 回旋加速器——磁场负责圆周(不做功、周期 T=2πm/(qB) 与速率无关)，交变电场负责在缝隙里加速(做功增能)。磁流体发电机——洛伦兹力把正负电荷推向两极，形成电压 U=Bvd。

原理: 正交的电场和磁场区域，一束速度各异的带电粒子射入。电场力 qE 与洛伦兹力 qvB 方向相反。只有当 qE = qvB 即 v = E/B 时二力平衡，粒子直线通过；速度偏大→洛伦兹力占上风偏转，偏小→电场力占上风反向偏转。

关键结论: 选出的速度 v = E/B 与电荷正负、电荷量、质量都无关！因为 qE=qvB 两边的 q 约掉了。所以它对正负电荷、任意质量都选同一个速度。

⚠ 陷阱:① 速度选择器里一般不计重力(粒子质量极小或题目声明忽略)；若题目强调有重力，要三力一起分析。② 判断哪个粒子偏向哪边，靠比较 qE 与 qvB 谁大——v>E/B 时洛伦兹力大。

原理: 让电场力竖直向上、恰好等于重力(qE=mg)，两者抵消。剩下的唯一的力是洛伦兹力——它永远垂直于速度、大小不变(速率不变)，正是匀速圆周运动的向心力条件。

秒杀点: 周期 T = 2πm/(qB) 与速率 v、半径 r 无关！速度大半径大，但转一圈时间不变(回旋加速器的物理基础)。

⚠ 陷阱:圆周运动的前提是「合力恰好只剩洛伦兹力」。只要重力没被电场力精确抵消，剩余的恒力会叠加，轨迹就不是圆(变成摆线/复杂曲线)。做题先验证 qE 是否真的等于 mg。

原理: 三个力矢量相加恰好为零，合力为零 → 粒子保持匀速直线。注意:洛伦兹力 qvB 依赖速度 v(大小和方向)。要维持合力恒为零，v 必须保持不变——这正好是匀速直线运动，自洽。

典型配置: 例如粒子水平匀速飞行:重力 mg 向下，电场力 qE 一部分平衡重力，洛伦兹力 qvB 补上剩余——三力围成闭合三角形(首尾相接)则平衡。

⚠ 陷阱:三力平衡下速度一旦被扰动(变大/变小/换方向)，洛伦兹力立即变化，平衡被打破。所以「三力平衡直线」是一个对速度敏感的临界态，只有特定 v 才成立。

为什么洛伦兹力不做功: 洛伦兹力 F=qvB 永远垂直于速度 v。功 W=F·s·cosθ，而 F⊥v(即 F⊥位移方向)，cos90°=0，所以做功恒为零。它只改变速度方向，绝不改变速度大小(动能)。

谁改变动能: 只有电场力(W电=qU=qEd沿场)和重力(W重=mgh)能改变动能。做能量分析时，把洛伦兹力直接划掉，只算电场力和重力做的功。

⚠ 陷阱:① 别把「粒子在磁场里加速」写成洛伦兹力做功——纯磁场里速率不变！要加速必须靠电场(回旋加速器的缝隙电场)。② 磁流体发电机中，是洛伦兹力把电荷「推」到两极形成电压，但它对单个电荷仍不做功，能量来自推动流体的外力/动能。

题型A — 速度选择器 / 质谱仪前级

触发信号:正交电磁场，一束不同速度粒子入射，问哪些粒子直行/如何选速度/E与B关系。

标准动作:写 qE=qvB → v=E/B(约去q)。判偏向:v>E/B洛伦兹力大偏向洛伦兹力侧，v

示例(带解):E=2×10⁴ V/m，B=0.4 T，求选出速度。v=E/B=2×10⁴/0.4=5×10⁴ m/s。所有 5×10⁴ m/s 的粒子(不论正负、质量)都直行。

陷阱:算出的 v 与 q、m 无关别写成有关；一般不计重力(除非题目指明)。

题型B — 重力被电场力平衡后的磁场圆周

触发信号:带电小球/液滴在正交电磁场中做圆周，题目给 qE=mg 或要你先验证。

标准动作:先验证 qE=mg(电场力方向须竖直向上抵消重力) → 合力只剩洛伦兹力 → qvB=mv²/r → r=mv/(qB)，T=2πm/(qB)。

示例(带解):m=1×10⁻⁵ kg，q=2×10⁻⁶ C，B=0.5 T，v=100 m/s，且 qE=mg 已满足。r=mv/(qB)=(1×10⁻⁵×100)/(2×10⁻⁶×0.5)=1×10⁻³/1×10⁻⁶=1000 m。

陷阱:没验证 qE=mg 就套圆周公式；电场力方向弄反(应竖直向上)。

题型C — 三力平衡的匀速直线

触发信号:带电粒子在重力+电场+磁场中匀速直线飞行，求某场的大小/方向或速度。

标准动作:合力为零，正交分解(水平、竖直)或矢量三角形闭合，列两个方程解未知量。洛伦兹力 qvB 依赖 v。

示例(带解):粒子水平向右匀速，重力 mg 向下，磁场使洛伦兹力向上 qvB，电场力水平。竖直:qvB=mg → v=mg/(qB)；水平:qE=0 或平衡水平分量。

陷阱:忘了洛伦兹力方向垂直于v(随v定)；正负电荷洛伦兹力方向相反判错。

题型D — 复合场综合(先直线后圆周/进出场)

触发信号:粒子先在一个区域(如加速电场)获得速度，再进入复合场区做圆周或平衡，多段衔接。

标准动作:分段:加速段用动能定理 qU=½mv² 求入射速度 → 复合场段判轨迹(圆周/直线/抛物线) → 速度/位置衔接。

示例(带解):粒子经电压U加速:qU=½mv²→v=√(2qU/m)。进入 qE=mg 的复合场磁场圆周:r=mv/(qB)=√(2mU/q)/B。

陷阱:段与段速度不衔接；进入磁场区后误算速率变化(纯磁场速率不变)。

题型E — 能量分析(回旋加速器/磁流体)

触发信号:回旋加速器求末速度/最大动能、周期；磁流体发电机求电压/电流。

标准动作:回旋:磁场定周期 T=2πm/(qB)、半径 r=mv/(qB)；缝隙电场每次做功 qU，末动能 Ek=½mv²_max=q²B²R²/(2m)。磁流体:U=Bvd。

示例(带解):回旋加速器 D 形盒半径 R，末速 v_max=qBR/m，最大动能 Ek=½m·v²_max=q²B²R²/(2m)。周期与速率无关。

陷阱:以为洛伦兹力给粒子加速(错，是缝隙电场加速)；末动能公式记混。

① 洛伦兹力永远不做功——纯磁场里速率、动能不变，别写「磁场加速粒子」。

② 速度选择器 v=E/B 与电荷正负、q、m 全无关(q约掉了)，别答成有关。

③ 圆周运动的前提是「合力恰好只剩洛伦兹力」——必须先验证 qE=mg(或重力可忽略)，否则不是圆。

④ 是否计重力:宏观带电小球/液滴通常要算重力；基本粒子(电子、质子)在电磁场中通常忽略重力(除非题目强调)。看清对象！

⑤ 电场力方向:正电荷沿E，负电荷逆E——正负别弄反。

⑥ 洛伦兹力方向用左手定则(电流方向=正电荷速度方向；负电荷再反向)，别只记大小。

⑦ 周期 T=2πm/(qB) 与速率、半径无关；能量却随 r² 增大——两者别混。

⑧ 三力平衡是对速度敏感的临界态，v 一变就破——不要以为任意速度都平衡。

① 先问「合力等于什么」，轨迹自动浮现: 合力=0→直线；合力=恒定矢量→类平抛(抛物线)；合力=只剩洛伦兹力(垂直v、大小随v)→圆周；恒力+洛伦兹力同时存在→摆线。把「数力→求合力→认轨迹」练成条件反射，压轴题上来就能定型。

② 把「重力+电场力」打包成一个「等效重力」: 当重力和电场力都是恒力时，把它们的矢量和当作「等效重力 G_eff」，问题就退化成「等效重力场 + 磁场」。若 G_eff=0(qE抵消mg)→纯磁场圆周；若 G_eff≠0→等效的「重力场中带电粒子」，可用类平抛/摆线分析。这个打包技巧能把三力问题降维成两力。

③ 洛伦兹力不做功是能量分析的「免费简化」: 任何复合场能量问题，第一步就把洛伦兹力划掉——动能变化只由电场力(qU)和重力(mgh)负责。这一刀下去，能量方程立刻清爽:½mv²−½mv₀²=qU+mgh。

④ 周期与速率无关是回旋加速器的灵魂: T=2πm/(qB) 不含 v——这就是为什么用固定频率的交变电场就能一直和粒子同步加速。理解这一点，回旋加速器的所有问题(频率、末速度、总时间)一把抓。相对论修正(高速时质量增大、周期变长)是拔高延伸。

⑤ 用「对称性」秒杀圆周几何: 磁场中圆周问题，画出圆心(在洛伦兹力方向、即垂直速度方向上，距离 r)、用弦、弧、几何对称找进出场点和偏转角。半径 r=mv/(qB) 一算，几何关系(弦长、偏角)全靠圆的对称性推，比硬算坐标快得多。