导数压轴题里最能拉开档次的一类:用导数证明不等式。核心武器只有一件——构造函数。把要证的不等式「搬到一边」,做差得到一个新函数 h(x),再用导数看它的单调性、找最小值,只要证出 h(x) 的最小值 ≥ 0,原不等式就成立。配上两条万能切线不等式 ex≥x+1 与 lnx≤x−1,放缩、含参、双变量题都能被拆穿。
为什么要作差? 两条曲线比高低不好比,但把它们的「高度差」当成一条新曲线 h(x),问题就变成「这条新曲线是否始终在 x 轴上方」——这正是导数最擅长的最值问题。
| 要证的形式 | 构造的 h(x) | 目标 |
|---|---|---|
| f(x) > g(x) | h(x)=f(x)−g(x) | 证 hmin > 0 |
| f(x) ≥ g(x) | h(x)=f(x)−g(x) | 证 hmin ≥ 0(可取等) |
| 比商形式 f(x)/g(x)≥1 | 先化成差,或取对数再作差 | 证差 ≥ 0 |
⚠ 构造完 h(x) 第一件事写定义域!含 lnx 的定义域是 x>0,含 √x 的是 x≥0。定义域写错,后面单调性全盘皆输。
这里 f(x)=ex、g(x)=x+1。上图两条原曲线难比高低;点「显示差函数」后,紫色曲线 h(x)=ex−(x+1) 冒出来——它始终 ≥ 0,最低点恰好在 x=0 处贴到 0。这就是 ex≥x+1 的图像证据。
构造出 h(x) 后,证 h(x)>0 的标准套路:
关键直觉: h′(x) 是 h(x) 的「上坡/下坡指示牌」。h′>0 上坡,h′<0 下坡,h′=0 是山顶或谷底。要证「始终 ≥ 0」,只需盯住最低的那个谷底——只要谷底 ≥ 0,全线就 ≥ 0。
⚠ 极值点不一定是最值点!要结合区间端点、定义域边界一起判断,尤其定义域是开区间时最值可能取不到(需用极限/趋势说明)。
h′(x)=ex−1:x<0 时 h′<0(下坡,减),x>0 时 h′>0(上坡,增),x=0 时 h′=0。所以 x=0 是唯一谷底,h(0)=1−0−1=0,即 hmin=0 ≥ 0。原不等式 ex≥x+1 得证,取等当且仅当 x=0。
这两条是导数证不等式的「放缩弹药库」,来自曲线在某点的切线始终托住或压住曲线:
怎么来的? y=ex 在点 (0,1) 处的切线是 y=x+1,且 ex 是下凸的,曲线永远在切线上方 → ex≥x+1。y=lnx 在点 (1,0) 处的切线是 y=x−1,且 lnx 是上凸的,曲线永远在切线下方 → lnx≤x−1。
| 母式 | 换元 | 得到 |
|---|---|---|
| ex≥x+1 | x→−x | e−x≥1−x,即 ex≤1/(1−x) (x<1) |
| ex≥x+1 | x→x−1 | ex−1≥x,即 x≤ex−1 |
| lnx≤x−1 | x→1/x | ln(1/x)≤1/x−1 → lnx≥1−1/x |
| lnx≤x−1 | x→x+1 | ln(x+1)≤x (x>−1) |
联合夹逼(超好用): 由上两式得 1 − 1/x ≤ lnx ≤ x − 1,把 lnx 上下都框住。
⚠ 用切线不等式放缩前必须先证明它(或注明「由 ex≥x+1 及其证明」),不能当公理直接搬。取等条件(x=0 或 x=1)也要记牢,否则放缩后取等对不上会翻车。
红曲线 y=ex,蓝直线 y=x+1(在 (0,1) 处相切)。差 ex−(x+1) 永远 ≥ 0,只有 x=0 时为 0(相切)。这就是「曲线在切线上方」= 切线不等式。
绿曲线 y=lnx,橙直线 y=x−1(在 (1,0) 处相切)。差 (x−1)−lnx 永远 ≥ 0,只有 x=1 时为 0。即 lnx ≤ x−1,处处被切线压住。
放缩的核心: 当 h(x) 里同时有 ex 和 lnx、次数高低混杂,直接求导很难看出正负时,先用切线不等式把某一项换成更简单的一次式,证一个更弱(但足够)的不等式,链式传递到原式。
方向要对: 想证「≥ 某值」,就把左边往小了放(缩),证明「缩小后仍 ≥ 目标」;想证「≤ 某值」就往大了放(放)。放缩链的每一环取等点要能对齐,否则会「放过头」——缩得比目标还小,结论反而证不出来。
⚠ 放缩过头 = 最常见死法。例如证 ex≥x²/2 却直接用 ex≥x+1,当 x 大时 x+1 < x²/2,链断了。放缩要「够用但不过分」,不确定时宁可老实作差求导。
红线 y=ex、蓝线中间量 y=x+1、绿线目标。够用时三者从上到下有序,放缩成立;过头时中间量掉到目标下面,链条断裂,必须换更强的放缩或直接求导。
出现参数 a 的恒成立问题「对任意 x∈D,f(x,a) ≥ 0 恒成立,求 a 的范围」,两条主路:
把不等式变形成 a ≥ φ(x)(或 a ≤ φ(x)),则:
问题转成求 φ(x) 的最值——又回到求导找最值。优点:把含参问题变成不含参的最值问题,干净利落。
直接对 h(x)=f(x,a) 求导,h′(x) 里含 a → 按 a 的取值范围分类讨论 h′ 的正负、极值点位置,分别验证 hmin≥0。分类的临界值常来自「h′=0 的根是否落在定义域内」「二次项系数正负」。
⚠ 分类讨论要不重不漏,临界点(如 a=0、a=1、判别式=0)单独讨论。分离参数时若 φ(x) 在开区间端点取不到最值,要用极限说明「取不到但趋近」,边界 a 的取舍最容易错。
h(x)=ex−a·x。a>0 时极小点 x=lna,hmin=a−a·lna=a(1−lna)。拖动 a:曲线整体升降,谷底(黑点)上下穿过 x 轴。hmin≥0 ⟺ a(1−lna)≥0 ⟺ 0<a≤e。这就是「求 a 范围」的可视化。
形如「对 x1、x2 证某不等式」的双变量题,核心是降维:两个变量转成一个变量。
| 技巧 | 做法 |
|---|---|
| 比值换元 | 令 t=x1/x2(或 x2/x1),把双变量式整理成只含 t 的一元函数,再求导 |
| 差换元 | 令 t=x1−x2,或对对称式令 s=x1+x2、p=x1x2 |
| 构造对称/齐次 | 把式子写成关于 x1、x2 对称或齐次,除以某变量化成单变量比 |
典型:对数均值不等式 —— 若 x1≠x2>0,则 √(x1x2) < (x1−x2)/(lnx1−lnx2) < (x1+x2)/2。证法就是令 t=x1/x2>1,化为一元关于 t 的不等式再求导。
⚠ 换元后务必写清新变量 t 的范围(如 t>1 或 t>0),它决定单调性判断的区间。丢了 t 的范围,最值就找错。
对数均值不等式右半段,令 t=x1/x2>1 后化为一元 φ(t)=lnt−2(t−1)/(t+1)。可证 φ(t)>0(t>1),φ(1)=0。二维不等式被压成这一条曲线的符号问题,拖动 t 看 φ 始终在 0 上方。
要证一串求和不等式(如 Σ 1/k、Σ ln 型),把通项用切线不等式放缩成能裂项或已知求和的形式,再累加。
由 lnx≤x−1 换 x→(k+1)/k: ln((k+1)/k) ≤ (k+1)/k − 1 = 1/k,即 ln(k+1)−lnk ≤ 1/k。对 k=1..n 累加左边裂项(消成 ln(n+1)),得 ln(n+1) ≤ 1 + 1/2 + … + 1/n。反向用 lnx≥1−1/x 可得上界。
⚠ 数列放缩要保证「逐项放缩后能求和」——放成裂项相消或等比/常见级数。放错方向(该放大却缩小)或放完不能求和,等于白放。
蓝柱=调和和 Σk=1n 1/k,绿线=下界 ln(n+1)。每一项 1/k 都 ≥ ln(k+1)−lnk(切线不等式),逐项累加 → 蓝柱始终高过绿线,即 ln(n+1)≤Σ1/k。拖动 n 验证。
触发信号:「证明 f(x)>g(x)」「证明 f(x)≥某常数」,两边都是显式函数,没有参数。
标准动作:构造 h(x)=f(x)−g(x),写定义域 → 求 h′(x) → 判单调、找 hmin → 证 hmin≥0,写取等条件。
示例(带解):证 ex ≥ x+1(x∈R)。构造 h(x)=ex−x−1,h′(x)=ex−1。h′<0(x<0)、h′>0(x>0),故 x=0 是最小值点,hmin=h(0)=1−0−1=0。所以 h(x)≥0,即 ex≥x+1,取等当且仅当 x=0。∎
陷阱:漏写定义域;把极值点当最值点没验端点;取等条件不写。
触发信号:式子里同时有 ex 和 lnx、或次数混杂,直接求导算不动;要证的不等式「像」某条切线不等式的变形。
标准动作:先(证并)引用 ex≥x+1 或 lnx≤x−1,把难项放缩成一次式,证一个更弱的不等式,链式得原式;核对取等点对齐。
示例(带解):证 x>0 时 lnx ≤ x−1 ≤ ex−1−1<ex。左段是切线不等式本身;由 et≥t+1 取 t=x−1 得 ex−1≥x,即 ex−1−1≥x−1,连起来即得。取等 x=1(左段)。∎
陷阱:放缩过头(缩得比目标还小);未先证明切线不等式就直接用;取等点不对齐导致严格/非严格弄错。
触发信号:「对任意 x∈D,含 a 的不等式恒成立,求 a 的范围」。
标准动作:能分离参数 → 化 a≥φ(x)(或 ≤),转求 φ(x)max/min;分不出 → 直接对 h(x) 求导,按 a 分类讨论 hmin。
示例(带解):求 a 使 ex≥a·x 对一切 x>0 恒成立。分离:a ≤ ex/x=φ(x)(x>0)。φ′(x)=ex(x−1)/x²,x=1 处取极小,φ(1)=e。故 a ≤ e。∎
陷阱:分离参数时不等号方向随 x 符号变(除以负数要变号);φ 在开区间端点最值取不到,边界 a 取舍错;分类不重不漏没做到。
触发信号:不等式含两个变量 x1、x2(常是同一函数的两个零点/交点),要证它们的和、差、积的某性质。
标准动作:令 t=x1/x2(或 t=x1−x2),把双变量式整理成一元 φ(t),写清 t 的范围,再求导证 φ(t) 符号。
示例(带解):证 x1≠x2>0 时 (x1−x2)/(lnx1−lnx2) < (x1+x2)/2。设 t=x1/x2>1,化为证 lnt > 2(t−1)/(t+1)。令 φ(t)=lnt−2(t−1)/(t+1),φ′(t)=(t−1)²/[t(t+1)²]>0,φ 增,φ(1)=0,故 t>1 时 φ>0。∎
陷阱:换元后忘写 t 的范围;化简出错;对称式没利用对称性硬算。
触发信号:要证含 Σ(求和)或连乘的数列不等式,通项里有 1/k、ln 型、指数型。
标准动作:用切线不等式把通项放缩成可裂项/已知级数的形式,逐项放缩后累加(相消或套等比),得整体不等式。
示例(带解):证 ln(n+1) ≤ 1+1/2+…+1/n。由 lnx≤x−1 取 x=(k+1)/k:ln(k+1)−lnk ≤ 1/k。对 k=1..n 累加,左边裂项相消得 ln(n+1),右边为 Σ1/k,故 ln(n+1)≤Σ1/k。∎
陷阱:放缩方向反(该放大却缩小);放完不能求和;累加时裂项没消干净。
① 构造 h(x) 后必须先写定义域(含 lnx→x>0,含 √x→x≥0)。定义域错,单调性、最值全错。
② 最值点是否取到要交代。开区间/定义域边界上的极值可能取不到,需用极限说明趋势,别直接写「min=…」。
③ 切线不等式取等条件:ex≥x+1 取等 x=0;lnx≤x−1 取等 x=1。放缩后取等对不齐 → 严格「>」写成了「≥」或反之。
④ 放缩过头:缩得比目标还小,链条断裂。放缩前先估一下量级,拿不准就老实作差求导。
⑤ 极值点 ≠ 最值点。要结合区间端点、单调性整体判断 hmin。
⑥ 分离参数时,不等号方向随两边符号变(除以负数变号);φ(x) 端点取不到时边界 a 的取舍要小心。
⑦ 分类讨论要不重不漏,临界值(a=0、判别式=0、根落在定义域边界)单独讨论。
⑧ 双变量换元后写清新变量范围(t>1 等),它决定 φ 的单调区间。
⑨ 引用切线不等式前要先证明(或注明来源),不能当公理直接搬用。
① 一切都是「作差 + 求最值」: 无论题面多花哨,证不等式的骨架就是把不等式移到一边构造 h(x),证 hmin≥0。放缩、切线、分类、换元,全是为「让 h 的最值好求」服务的助攻手段。抓住这条主线,压轴题就不慌。
② ex 与 lnx 是「互为镜子」的一对: 它们关于 y=x 对称,切线不等式 ex≥x+1 和 lnx≤x−1 也互为反演(令 x→lnx 可从一条推出另一条)。看到指数就想切线托底、看到对数就想切线压顶,方向从不会错。
③ 「二次求导」定海神针: h′(x) 的正负看不出来时,再求一次导 h″(x) 判 h′ 的单调性,从而定 h′ 有没有唯一零点、h 有没有唯一极值。含 ex·多项式、lnx·多项式的题几乎必用二阶导定单调。
④ 隐零点(设而不求): 当 h′(x)=0 解不出显式根 x0 时,设它存在(由单调+零点定理保证唯一),用 h′(x0)=0 这个关系式把 h(x0) 里的超越项换掉,化成关于 x0 的可估代数式。这是压轴题最高频的「设而不求」技巧。
⑤ 双变量的「极值点偏移」母题: f(x1)=f(x2) 求证 x1+x2>2x0 之类,统一套路是构造对称差函数 F(x)=f(x)−f(2x0−x) 判符号,或比值换元 t=x1/x2 化一元。识别出它属于「极值点偏移」,套路一步到位。
thebest2dan · 数学攻坚包 · 核心:作差构造 + 求最值,配两条切线不等式 e^x≥x+1、lnx≤x−1