导数 f′(x₀) 不是抽象符号,它就是曲线在 (x₀,f(x₀)) 那一点切线的斜率。这一页把切线问题一网打尽:在某点求切线、过某点作切线、已知切线求参数、两曲线的公切线、切线条数问题。全部围绕一句话——切线斜率 = 那点的导数值。
切线是「点斜式」的直线:已知一个点 (x₀,y₀) 和斜率 k=f′(x₀),就能写出直线。切线要满足两个条件:①过切点(切点在曲线上,y₀=f(x₀));②斜率等于该点导数(k=f′(x₀))。两个条件缺一不可。
| 要素 | 怎么得到 |
|---|---|
| 切点 (x₀,f(x₀)) | 切点必在曲线上,纵坐标 = 把 x₀ 代进 f(x) |
| 斜率 k | 先求导 f′(x),再把切点横坐标 x₀ 代进 f′(x) |
| 切线方程 | 点斜式 y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀),整理成 y=kx+b |
⚠ 斜率是把 x₀ 代进导函数 f′(x),不是代进原函数 f(x)。切点纵坐标是代进原函数 f(x)。别把这两步弄反。
曲线 y=x²，导数 f′(x)=2x。拖动切点，红线始终贴着曲线(只碰一点)，它的斜率恰好等于 2x₀=f′(x₀)。x₀=0 时切线水平(k=0，正是抛物线顶点)。
这是导数切线的头号考点与失分点。一字之差,做法天差地别。
| 「在点 P 处」求切线 | 「过点 P」作切线 | |
|---|---|---|
| 点 P 的身份 | P 就是切点(在曲线上) | P 不一定在曲线上,更不一定是切点 |
| 切点已知吗 | 已知,就是 P | 未知,要设切点 (t,f(t)) |
| 斜率 | 直接 k=f′(x_P) | k=f′(t)(t 待定) |
| 切线条数 | 1 条 | 可能 1、2、3 条(看方程解个数) |
⚠ 「过点 P」时,千万不要直接把 P 当切点代 f′。若 P 恰好在曲线上,它可能是切点之一,也可能不是——仍需老老实实设 (t,f(t)) 解方程,别漏切线。
曲线 y=x²，设切点 (t,t²)，切线过 P(a,b) 得 t²−2at+b=0。判别式 Δ=4a²−4b。P 在抛物线外(下方)→ 两解 → 2 条切线;P 在曲线上→ 一解(重根)→ 1 条;P 在内(上方)→ 无解 → 0 条。
一条直线 同时是两条曲线的切线,叫两曲线的公切线。设它在曲线 y=f(x) 上切于 (a,f(a)),在曲线 y=g(x) 上切于 (b,g(b))。
为什么两个条件? 直线由「斜率 + 截距」唯一确定。公切线在两曲线各自切点处的斜率必须相等(否则是两条不同斜率的线);同时两切点写出的直线要重合(截距 b 也相等)。联立这两个方程,解出 a、b。
写法二(等价): 在 (a,f(a)) 处切线为 y=f′(a)(x−a)+f(a);要求它也切 g,即 g(x)=f′(a)(x−a)+f(a) 有唯一解(相切⟺判别式=0 或代入切点)。两条路殊途同归。
⚠ 只让「斜率相等」是不够的——那只保证两切线平行,不保证是同一条。必须再加截距(或过点)条件,才能锁定唯一的公切线。
上曲线 f(x)=x²(蓝)，下曲线 g(x)=−(x−d)²−0.4(绿)。绿线是求出的公切线:它在 A 点切上抛物线、在 B 点切下抛物线，两处斜率相等且是同一条直线。
「过定点 P 能作几条切线?」这类问题的本质是:设切点 (t,f(t)),把 P 代入切线方程,得到一个关于 t 的方程——这个方程有几个解,就能作几条切线(每个 t 对应一个切点、一条切线)。
三次曲线常见结论: 对 y=x³ 这类曲线,过某些点可作 1、2 或 3 条切线。用 h(t)=切点方程,分析 h(t) 的极值与零点个数即可。
⚠ 不要把「切线条数」当成「交点条数」。切线可能与曲线还有别的交点;条数只看关于 t 的方程有几个根,即有几个合法切点。
曲线 y=x³。设切点 (t,t³)，切线过 P(a,b) 得 2t³−3at²+b=0。方程实根个数 = 切线条数。拖动 P 看条数在 1↔2↔3 之间切换(临界处正好相切于切线曲线上)。
题目给出「某直线是曲线的切线」或「切线满足某条件」,反求函数中的参数(如 a、b)。把切线的两个条件当成两个方程用。
有几个未知(切点 x₀ + 参数),就用几个方程。「相切」= 有公共点 + 该点斜率相同,常转化为「方程有重根」或「判别式=0」。
示例思路: 已知直线 y=2x+1 与曲线 y=x²+ax+b 相切于某点,则 ①斜率:2x₀+a=2;②过切点:x₀²+ax₀+b=2x₀+1。两方程配合切点条件解 a、b。
⚠ 「相切」不只是「有公共点」,更要求「斜率相等」。只用交点方程 (判别式=0) 有时够,但涉及非二次曲线时必须同时用斜率条件,别少列方程。
P(a,b) 在抛物线 y=x² 外部(下方)时，t²−2at+b=0 有两根 t₁,t₂ → 两条切线(红、蓝)。两切点关于 x=a 对称，斜率 2t₁ 与 2t₂。把 P 拖到曲线上或上方，切线会减到 1 条或 0 条。
y=e^x(蓝)与 y=ln x(绿)关于直线 y=x 对称。它们有一条特殊公切线 y=x(斜率 k=1，切于 A(0,1) 与 B(1,0)之外的对称点)。此图展示这条经典公切线怎么同时贴住两条曲线。
触发信号:「在点 (x₀,y₀) 处的切线方程」「曲线在 x=x₀ 处的切线」——点明确在曲线上,就是切点。
标准动作:①求导 f′(x);②算斜率 k=f′(x₀);③算切点纵坐标 y₀=f(x₀);④点斜式 y−y₀=k(x−x₀)。
示例(带解):求 y=x³ 在点 (1,1) 处的切线。f′(x)=3x²，k=f′(1)=3。切点 (1,1)。切线 y−1=3(x−1) → y=3x−2。
陷阱:斜率代成 f(x₀) 而非 f′(x₀);切点纵坐标算错(要代原函数)。
触发信号:「过点 P 作曲线的切线」「过 P 引切线」——P 不一定是切点,尤其 P 不在曲线上时。
标准动作:设切点 (t,f(t))，斜率 f′(t)；切线过 P(a,b)：b−f(t)=f′(t)(a−t)；解关于 t 的方程；每个 t 回代得一条切线。
示例(带解):过 P(0,−1) 作 y=x² 的切线。设切点 (t,t²)，斜率 2t，切线过 P：−1−t²=2t(0−t) → −1−t²=−2t² → t²=1 → t=±1。得两条切线 y=2x−1(t=1) 与 y=−2x−1(t=−1)。
陷阱:直接把 P 当切点;只解出一个 t 漏掉另一条;忘了 P 在曲线上也要设 t 验证。
触发信号:「直线 y=kx+b 与曲线相切,求参数 a」「曲线在某点切线为…,求 a、b」。
标准动作:切点处列两个方程——①纵坐标相等(点在曲线上);②斜率相等(f′(x₀)=k)。未知多就多设方程。
示例(带解):直线 y=x 与 y=ln x+a 相切,求 a。设切点 x₀:斜率 f′(x₀)=1/x₀=1 → x₀=1;纵坐标 ln 1+a=1 → a=1。故 a=1。
陷阱:只用「有公共点」不用「斜率相等」;非二次曲线硬套判别式。
触发信号:「求 y=f(x) 与 y=g(x) 的公切线」「两曲线有公切线,求参数」。
标准动作:设两切点 (a,f(a))、(b,g(b))；列 ①f′(a)=g′(b)(斜率等) ②f(a)−f′(a)a=g(b)−g′(b)b(截距等)；解 a、b。
示例(带解):求 y=x² 与 y=−x²+2x−2 的公切线。切点 (a,a²)、(b,−b²+2b−2)。斜率:2a=−2b+2 → a=1−b。截距等:a²−2a·a=(−b²+2b−2)−(−2b+2)b → −a²=b²−2b−2+2b²−... 联立解得 a、b，得公切线。
陷阱:只让斜率相等(只保证平行);忘了截距条件;把 a、b 当同一个变量。
触发信号:「过点 P 能作几条切线」「切线条数为 3,求 P 的范围」「是否存在切线使…」。
标准动作:设切点 (t,f(t))，把 P 代切线方程化成关于 t 的方程 g(t)=0；数它的实根个数 = 切线条数；参数题就讨论根个数的临界。
示例(带解):过 P(a,b) 作 y=x³ 切线。设切点 (t,t³)，切线过 P：b−t³=3t²(a−t) → 2t³−3at²+b=0。这个三次方程的实根个数(1/2/3)就是切线条数,用 h(t)=2t³−3at² 的极值判断。
陷阱:把切线条数当交点条数;三次方程漏根;不做临界(重根)分类讨论。
触发信号:「证明 f(x)≥切线」「切线放缩」「曲线恒在切线上方」。
标准动作:凸函数曲线恒在切线上方,凹函数恒在下方;做差 f(x)−切线，用导数证其符号恒定，即得放缩不等式(如 e^x≥x+1、ln x≤x−1)。
示例(带解):证 e^x≥x+1。y=e^x 在 (0,1) 的切线是 y=x+1;令 h(x)=e^x−x−1，h′(x)=e^x−1，h(x) 在 x=0 取最小值 0，故 e^x≥x+1(切线在下方)。
陷阱:方向搞反(凸/凹判断错);切线取的点不合适;忘了验证 h 的最值。
① 斜率是 f′(x₀)(代导函数),切点纵坐标是 f(x₀)(代原函数)。两步别弄反。
② 「过点 P」的 P 不一定是切点!必须设切点 (t,f(t)) 列方程,可能有多条切线。
③ 「过点」即使 P 在曲线上,也可能有不止一条切线,不能直接把 P 当切点代。
④ 公切线要满足斜率相等 且 截距一致(同一条线)。只让斜率等只保证平行。
⑤ 切线条数 = 关于 t 的方程根的个数,不是曲线交点个数。
⑥ 「相切」= 有公共点 且 该点斜率相等,不只是「有交点」。
⑦ 三次曲线切线条数题,三次方程可能有 1/2/3 个根,别漏根、别忘临界(重根)讨论。
⑧ 点斜式写好后要整理成一般式/斜截式,别把切点坐标代错到 x 或 y。
⑨ 求导别算错!复合函数、乘积、商的求导是切线题的隐形失分点。
① 「在」与「过」的分水岭是「切点是否已知」: 一切混乱都源于没分清切点。看到「在点 P 处」——P 就是切点,直接代;看到「过点 P」——切点未知,一律设 (t,f(t)),把 P 当「切线要经过的定点」代进方程解 t。养成先问「切点是谁」的习惯,这类题再不会做错。
② 切线条数 = 切点方程根数,本质是「函数零点问题」: 过定点作切线,最终都归结为一个关于 t 的方程 g(t)=0。切线条数就是 g 的零点个数。于是切线条数问题 = 用导数研究 g(t) 的单调性、极值、零点分布——和「函数零点」完全同源。会数零点,就会数切线。
③ 公切线 = 两个「相切方程」联立: 公切线在 f 上切于 a、在 g 上切于 b,要求同一条直线。两个自由度 a、b,配两个方程(斜率等 + 截距等)。也可写成:f 在 a 的切线 y=f′(a)(x−a)+f(a) 也与 g 相切(判别式=0 或代切点)。两种写法等价,选式子简单的那个。
④ 切线是「最好的一次逼近」,催生切线放缩: f(x)≈f(x₀)+f′(x₀)(x−x₀) 是曲线在 x₀ 附近的线性近似。凸函数曲线恒在切线上方 → 得到 e^x≥x+1、x≥ln x+1 等经典放缩不等式。压轴题里,取一条巧妙的切线,往往一步破题。
⑤ 对称曲线的公切线有对称结构: e^x 与 ln x 关于 y=x 对称,它们的公切线也关于 y=x 对称(其中 y=x 本身就是一条)。看到互为反函数的两曲线求公切线,利用对称性可把两个切点条件合并,大幅简化联立方程——这是压轴题的隐藏捷径。
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