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数学 · 导数基础攻坚包
导数与函数的单调性、极值、最值
这是导数的「基本功」页——先把「导数正负 = 上坡下坡」这件事彻底看懂,再稳稳拿下单调区间、极值、最值这些送分与中档题。学完这页,再去挑战「导数压轴」就不虚了。
🗣️ 一句话总览: 导数 f′(x) 就是函数在每一点的「瞬时坡度」。坡度为正(f′(x)>0)→ 在上坡(递增);坡度为负(f′(x)<0)→ 在下坡(递减);坡度由正变负是山顶(极大),由负变正是山谷(极小)。求单调、求极值、求最值,全都是在读这条「坡度」的正负号。
🗣️ 做题永远第一步:先写定义域! 单调区间、极值都不能越过定义域。
一、导数的几何意义:导数就是切线斜率
把曲线想成一条山路。你站在横坐标 x 处,脚下那一瞬间的「陡不陡、朝上还是朝下」,就是导数 f′(x)。它等于曲线在该点切线的斜率 k。拖动竖线,看切线随位置倾斜——斜率数值实时跟着变。
切线方程(在点 vs 过点,超高频易错):
• 「在点 P(x₀, f(x₀)) 处」的切线:切点就是 P,直接 y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)。
• 「过点 Q(a, b)」的切线:Q 不一定在曲线上!要设切点为 (t, f(t)),让切线经过 Q,解出 t(可能多解 → 多条切线)。
例(在点): 求 f(x)=x²+1 在 x=1 处的切线。
f′(x)=2x,f′(1)=2,切点 (1,2) → y−2=2(x−1) → y=2x。
例(过点): 求过原点 (0,0) 且与 y=x²+1 相切的直线。
设切点 (t, t²+1),斜率 2t,切线 y−(t²+1)=2t(x−t)。代入 (0,0):−(t²+1)=−2t² → t²=1 → t=±1 → 两条切线 y=2x 与 y=−2x。⚠ 原点不在曲线上,直接套「在点」公式会错。
二、切线『在点』与『过点』的区别(可切换演示)
这是导数入门最大的坑。切换下面的按钮,看清楚:「在点」时给定点必是切点;「过点」时给定点常在曲线外,切点要另设,还可能有两条切线。
曲线 y=x²+1。橙点=给定点,绿点=切点。「在点」时二者重合;「过点」时给定点在曲线外,切点另设,得到两条切线。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】已知曲线 f(x)=x³−3x,求过点 (2,−6) 的切线方程(注意:先判断 (2,−6) 是否在曲线上)。
【解析】先验证:f(2)=8−6=2≠−6,故 (2,−6) 不在曲线上,是「过点」问题,必须设切点。
设切点 (t, t³−3t),f′(t)=3t²−3。切线:y−(t³−3t)=(3t²−3)(x−t)。
代入 (2,−6):−6−(t³−3t)=(3t²−3)(2−t),展开化简得 2t³−6t²=0,即 2t²(t−3)=0 → t=0 或 t=3。
t=0:切点 (0,0),斜率 −3 → y=−3x;t=3:切点 (3,18),斜率 24 → y=24x−54。
验证都过 (2,−6):−3×2=−6 ✓;24×2−54=−6 ✓。共两条切线:y=−3x 与 y=24x−54。
三、常见函数求导 + 四则 / 复合法则
🗣️ 求导是导数题的地基。 常见函数导数背熟,四则与复合法则用熟,后面全靠它。复合函数口诀:由外到内,层层相乘(链式法则)。
| 基本函数 | 导数 f′(x) | 基本函数 | 导数 f′(x) |
|---|
| C(常数) | 0 | xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ | aˣ | aˣ·ln a |
| ln x | 1/x | logₐx | 1/(x·ln a) |
| sin x | cos x | cos x | −sin x |
四则法则:
• 和差:(u±v)′ = u′±v′
• 积:(u·v)′ = u′v + u·v′
• 商:(u/v)′ = (u′v − u·v′)/v²
复合(链式): 若 y=f(g(x)),则 y′ = f′(g(x))·g′(x) —— 先对外层求导(内层当整体),再乘内层导数。
例1(积): (x·eˣ)′ = 1·eˣ + x·eˣ = (x+1)eˣ。
例2(商): ((ln x)/x)′ = (1/x·x − ln x·1)/x² = (1−ln x)/x²。
例3(复合): (e^{2x})′ = e^{2x}·(2x)′ = 2e^{2x};(sin(3x))′ = cos(3x)·3 = 3cos(3x);(ln(x²+1))′ = 1/(x²+1)·2x = 2x/(x²+1)。
四、用 f′(x) 求单调区间(先定义域!)
🗣️ 标准动作: ① 先写定义域;② 求 f′(x);③ 解 f′(x)=0 找临界点;④ 在数轴上排临界点、判 f′ 的正负;⑤ f′(x)>0 的区间递增,f′(x)<0 的区间递减。区间必须落在定义域内。
下面的图:上方是 f(x),下方是它的导数 f′(x)。拖动竖线,读出该点导数值(=切线斜率);看 f′ 在横轴上方(>0)对应 f 上坡、f′ 在横轴下方(<0)对应 f 下坡,颜色同步标注。
例: 求 f(x)=x³−3x 的单调区间。
① 定义域 R。② f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)。③ f′=0 → x=±1。④ 符号:x<−1 时 f′>0(增);−1<x<1 时 f′<0(减);x>1 时 f′>0(增)。
⑤ 增区间 (−∞,−1) 和 (1,+∞),减区间 (−1,1)。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】求函数 f(x)=x³−3x²−9x+5 的单调递增区间与递减区间。
【解析】① 定义域 R。② f′(x)=3x²−6x−9=3(x²−2x−3)=3(x−3)(x+1)。③ 令 f′(x)=0 → x=−1 或 x=3。
④ 排号:x<−1 时 (x−3)<0,(x+1)<0,积>0 → f′>0;−1<x<3 时 (x−3)<0,(x+1)>0,积<0 → f′<0;x>3 时两因子都>0 → f′>0。
⑤ 递增区间:(−∞,−1) 和 (3,+∞);递减区间:(−1,3)。
五、给 f′(x) 判 f 的升降(区间染色)
只要能给 f′(x) 的正负画对,f 的升降就出来了。切换下面的例子,看 f′>0 / f′<0 的区间被自动染成绿 / 红,对应 f 递增 / 递减。
上条:f′(x) 的图像(高于横轴=正,低于=负);下条:据此把 x 轴染成绿(f 增)/ 红(f 减)。
六、极值的定义与判定(f′ 必须变号)
🗣️ 极值 = 局部的山顶或山谷。 判定靠 f′(x) 变号:在 x₀ 左右,f′ 由 + 变 − → x₀ 是极大值点(先上坡后下坡,山顶);由 − 变 + → 极小值点(先下坡后上坡,山谷)。
🗣️ 致命提醒:f′(x₀)=0 不一定是极值! 必须两侧变号才算。比如 y=x³ 在 x=0 处 f′=0,但两侧都是 + 号(不变号)→ 不是极值。
动画演示:小球在 f′(x₀) 的左右取样,显示号 +/−。+→− 判极大,−→+ 判极小,不变号则不是极值。点按钮切换三种情形。
红箭头=f′>0(上坡),蓝箭头=f′<0(下坡)。看 f′ 过 x₀ 时号是否翻转。
例: 求 f(x)=x³−3x 的极值。
f′=3(x−1)(x+1)。x=−1:左 f′>0、右 f′<0(+→−)→ 极大值 f(−1)=2;x=1:左 f′<0、右 f′>0(−→+)→ 极小值 f(1)=−2。
反例: f(x)=x³,f′=3x²≥0,x=0 处 f′=0 但不变号 → x=0 不是极值点。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】求函数 f(x)=2x³−3x²−12x+5 的极大值与极小值。
【解析】f′(x)=6x²−6x−12=6(x²−x−2)=6(x−2)(x+1)。令 f′(x)=0 → x=−1 或 x=2。
x=−1 处:左侧(x<−1)f′>0,右侧(−1<x<2)f′<0,+→− → 极大值 f(−1)=2(−1)³−3(−1)²−12(−1)+5=−2−3+12+5=12。
x=2 处:左侧 f′<0,右侧(x>2)f′>0,−→+ → 极小值 f(2)=2(8)−3(4)−12(2)+5=16−12−24+5=−15。
结论:极大值 f(−1)=12,极小值 f(2)=−15。
七、闭区间最值(极值 vs 端点大比拼)
🗣️ 套路: 求闭区间 [a,b] 上的最值 = ① 求出区间内所有极值(f′=0 且在 (a,b) 内的点的函数值);② 算两端点 f(a)、f(b);③ 把这些值全部比大小,最大的是最大值、最小的是最小值。最值一定在极值点或端点处取到。
拖动改变区间右端点 b,看比较器如何在「极大、极小、左端、右端」四个候选值中挑出全区间的最大 / 最小值。
例: 求 f(x)=x³−3x 在 [−2,3] 上的最值。
f′=3x²−3,极值点 x=±1 都在区间内。候选值:f(−2)=−2,f(−1)=2,f(1)=−2,f(3)=18。
比较 → 最大值 18(在 x=3),最小值 −2(在 x=−2 与 x=1 处并列)。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】求函数 f(x)=x³−3x²−9x+5 在区间 [−2,2] 上的最大值与最小值。(沿用上题函数,换一个区间)
【解析】f′(x)=3(x−3)(x+1),临界点 x=−1,3。在 [−2,2] 内只有 x=−1 是内部临界点(x=3 不在区间内)。
候选值:f(−2)=(−8)−3(4)−9(−2)+5=−8−12+18+5=3;f(−1)=(−1)−3(1)−9(−1)+5=−1−3+9+5=10;f(2)=8−3(4)−9(2)+5=8−12−18+5=−17。
比较 3、10、−17 → 最大值 10(在 x=−1),最小值 −17(在 x=2)。⚠ 别忘了 x=3 不在 [−2,2] 内,不能当候选点。
八、含参单调性讨论入门
题里带个参数 a,f′(x) 的正负就不固定了。核心思路:让 f′(x) 定号,就要对 a 分类。分界点来自「f′ 能否变号 / 二次的判别式 / 二次项系数正负」。拖动参数 a,看 f′ 的根移动、单调性在临界处翻脸。
分类模板(以 f′(x)=3x²−a 为例):
• 当 a≤0:f′(x)=3x²−a≥0 恒成立 → f(x) 在 R 上单调递增,无极值。
• 当 a>0:f′(x)=0 → x=±√(a/3),两侧变号 → x=−√(a/3) 极大,x=+√(a/3) 极小。
另一常见型 f′(x)=x−a/x=(x²−a)/x(定义域 x>0): a≤0 时 f′>0 恒增;a>0 时 x=√a 是分界,(0,√a) 减、(√a,+∞) 增。⚠ 分类别漏「分界值本身」(a=0);带 ln 的题先看定义域 x>0。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】讨论函数 f(x)=x²−a·ln x(x>0,a 为常数)的单调性。
【解析】定义域 x>0。f′(x)=2x−a/x=(2x²−a)/x,分母 x>0,只需看分子 2x²−a 的符号。
• 当 a≤0:2x²≥0 且 −a≥0,故 2x²−a>0 恒成立(x>0)→ f′(x)>0 → f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增。
• 当 a>0:令 2x²−a=0 → x=√(a/2)(舍负根,因 x>0)。
0<x<√(a/2) 时 2x²−a<0 → f′<0,递减;x>√(a/2) 时 f′>0,递增。
结论:a≤0 时在 (0,+∞) 上递增;a>0 时在 (0,√(a/2)) 上递减、在 (√(a/2),+∞) 上递增。⚠ 分类讨论前先确认定义域 x>0,负根要舍去。
九、导数与不等式 / 零点的基础应用
🗣️ 零点 / 根个数 = 数形结合: 「方程 f(x)=k 有几个根?」= 「曲线 y=f(x) 与水平线 y=k 有几个交点?」。上下拖动 k,数交点。临界值恰是极大值、极小值。
不等式基础用法: 证 A(x)>B(x),令 h(x)=A−B,求导求 h 的最小值,证 h(x)>0。
例: 证 x>0 时 e^x>x+1。令 h(x)=e^x−x−1,h′=e^x−1,x>0 时 h′>0(增),h(0)=0 → x>0 时 h>0 → e^x>x+1。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】求证:当 x>0 时,ln x ≤ x−1(常用「切线放缩」母不等式之一)。
【解析】构造 h(x)=x−1−ln x(x>0),只需证 h(x)≥0。
h′(x)=1−1/x=(x−1)/x。x>0 时分母恒正,只看分子 x−1。
0<x<1 时 x−1<0 → h′<0,h 递减;x>1 时 x−1>0 → h′>0,h 递增。
故 h(x) 在 x=1 处取最小值 h(1)=1−1−ln 1=1−1−0=0。
即 h(x)≥h(1)=0 对所有 x>0 成立 → x−1−ln x≥0 → ln x ≤ x−1,当且仅当 x=1 时取等号。⚠ 这条与页面前面的 eˣ≥x+1 是「姊妹不等式」(互为反函数关系),压轴题里经常配套出现,务必背熟。
十、恒成立:分离参数入门
🗣️ 口诀: 恒成立 = 对「所有 x」都满足 → 取最不利的那个。
• 要 a ≥ g(x) 恒成立 → a ≥ g(x) 的最大值;
• 要 a ≤ g(x) 恒成立 → a ≤ g(x) 的最小值。
把 a 分离到一边,另一边用导数求最值即可。
例: 对任意 x>0,a ≥ (ln x)/x 恒成立,求 a 范围。
令 g(x)=(ln x)/x,g′(x)=(1−ln x)/x²,令 g′=0 → x=e,g(e)=1/e 是最大值。
恒成立要 a ≥ g(x) 的最大值 → a ≥ 1/e。
分离参数四步: ① 把 a 单独移到一边;② 另一边记为 g(x);③ 用导数求 g(x) 的最值;④ 恒成立看最值方向取等。注意定义域 + 端点能否取到(影响 ≥ 还是 >)。
🎯 自编练习题 · 非真题(待替换为真题)
【题】若不等式 x−ln x ≥ a 对一切 x>0 恒成立,求实数 a 的取值范围。
【解析】把 a 分离出来:不等式即 a ≤ x−ln x 对一切 x>0 恒成立。
令 g(x)=x−ln x(x>0),g′(x)=1−1/x=(x−1)/x。
0<x<1 时 g′<0(递减);x>1 时 g′>0(递增)→ x=1 处取最小值 g(1)=1−ln 1=1−0=1。
「a ≤ g(x) 恒成立」⇔ 「a ≤ g(x) 的最小值」→ a ≤ 1。⚠ 恒成立求「a≤g(x)」型要取 g(x) 的最小值,别和「a≥g(x)」取最大值的情形搞反。
十一、全题型地图(触发信号 + 标准动作)
| 题型 | 触发信号 | 标准动作 |
|---|
| 求切线 | 「在…处切线」「过…点切线」 | 在点:直接 y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀);过点:设切点 (t,f(t)) 解 t |
| 求单调区间 | 「单调递增/递减区间」 | 先定义域 → f′ → 解 f′=0 → 排号,f′>0 增、f′<0 减 |
| 求极值/最值 | 「极大/极小值」「最大/最小值」 | 极值看 f′ 变号;闭区间最值比较极值与端点 |
| 已知单调性求参数 | 「在…上单调递增,求 a」 | 转成 f′(x)≥0 在区间恒成立 → 分离参数求最值 |
| 简单含参讨论 | f′ 中带 a,正负不定 | 按 f′ 能否变号/判别式/系数正负,对 a 分类讨论 |
| 零点/根个数 | 「几个零点」「f(x)=k 几个根」 | 数形结合:y=f(x) 与 y=k 交点数,临界值是极值 |
| 不等式证明 | 「证明 A>B」 | 令 h=A−B 求导,证 h 的最小值≥0(或>0) |
带解例题:已知单调性求参数范围
已知 f(x)=x³+ax 在 R 上单调递增,求 a 的范围。
f′(x)=3x²+a。在 R 上递增 ⇔ f′(x)=3x²+a ≥ 0 对所有 x 恒成立。
3x² 的最小值为 0(在 x=0),故需 a ≥ 0。
变式: 若 f(x)=x³+ax 在区间 [1,+∞) 上递增,则需 3x²+a≥0 在 [1,+∞) 恒成立,3x² 在此区间最小值为 3(在 x=1),故 a ≥ −3。⚠ 区间不同,「最不利点」也不同——恒成立要盯住区间内的最小值。
带解例题:含参单调性讨论
讨论 f(x)=ln x − a·x(x>0)的单调性。
定义域 x>0。f′(x)=1/x − a = (1−ax)/x。
• a≤0:1−ax>0(因 x>0),f′>0 → 在 (0,+∞) 递增。
• a>0:f′=0 → x=1/a。(0,1/a) 上 f′>0 递增,(1/a,+∞) 上 f′<0 递减。
结论:a≤0 时全程递增;a>0 时在 x=1/a 处取极大值。
十二、易错集
⚠ ① 定义域优先! 单调区间、极值都不能超出定义域。带 ln、分式、根号的题,先把定义域写出来。
⚠ ② 极值点 ≠ 所有 f′=0 的点。 f′(x₀)=0 必须验「两侧变号」才是极值(如 y=x³ 在 0 处不是)。
⚠ ③ 切线『在点』与『过点』分不清。 「过点」时给定点常在曲线外,切点要另设,可能有多条切线。
⚠ ④ 闭区间最值忘算端点。 最值只在「极值点或端点」取到,漏比端点会错。
⚠ ⑤ 写单调区间别用「并集∪」连不连续的两段。 增区间 (−∞,−1) 和 (1,+∞) 要分开写,不能写成 (−∞,−1)∪(1,+∞) 作为一个「递增」的整区间。
⚠ ⑥ 含参讨论漏掉分界值。 a=0、判别式=0 这些临界情况要单独列,分类不完整直接扣分。
⚠ ⑦ 恒成立取等号。 「在区间上递增」通常允许 f′(x)=0 于个别点,故用 ≥ 而非 >;分离参数后端点能否取到影响 ≥ / >。
十三、尖子生拔高视角
① 单调 ⇔ f′ 恒定号,是「桥」。 「在区间上单调递增」= 「f′(x)≥0 在该区间恒成立」= 分离参数求最值。所有「已知单调求参数」都从这座桥过。
② f′ 是二次时,善用「根与图象」而非死解。 讨论 f′=ax²+bx+c 的符号,优先看开口方向 + 判别式 + 对称轴 / 根是否落在定义域内,比硬解根快且不漏情况。
③ 极值点数量 = f′ 变号次数。 想知道函数有几个极值,先数 f′(x)=0 的「变号根」个数(重根不变号,不算)。
④ 数形结合是导数题的灵魂。 「根的个数」「恒成立」「比较大小」优先画图,把代数翻译成「曲线与直线的位置关系」。
⑤ 恒成立与能成立要分清方向。 恒成立取最值的「最不利端」;能成立(存在)取「最有利端」——方向反了全错。这是通往「导数压轴」的关键一步。
⑥ 切线放缩预热: ln x ≤ x−1、e^x ≥ x+1(都在切点处相切)。压轴题里把陌生的 ln、e^x 换成多项式,基础页先记住这两条「母不等式」。
十四、自测(先想,再点开)
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