带电粒子在电场中的运动(加速与偏转)

粒子(电荷 q、质量 m)从静止在加速电压 U加 下由一块板飞到另一块板。电场对它做正功 W = qU加,全部变成动能:

关键点: ① 出射速度 v₀ 只由 U加 决定(与板间距、电荷正负无关,正负只决定往哪块板加速);② 加速段是直线匀加速,不是抛物线;③ 通常题目里粒子很轻很快,重力常忽略(下文专门讲何时不能忽略)。

⚠ 加速用的是动能定理(qU加=½mv₀²),不是类平抛!很多人一上来就套抛物线,错。加速段是一条直线。

粒子以 v₀ 水平射入长为 L、间距为 d 的平行偏转板,板上加电压 U偏,板内匀强电场 E = U偏/d。把运动分解成两个方向:

板内侧移(离开偏转板时偏离中线的距离):

把 v₀² = 2qU加/m 代进去,神奇地把 q、m 全消掉:

偏转角(离开板时速度方向与 v₀ 的夹角):

⚠ 侧移公式 y = U偏L²/(4dU加):注意 y 与 U偏 成正比、与 U加 成反比(加速越猛,飞得越快,偏转板里待得越短,偏得越少)!公式里 q、m 都消掉了——这是选择题秒杀点。

粒子离开偏转板后不再受力,沿离板瞬间的速度方向做直线运动,直到打在距板(右端)为 D 的荧光屏上。屏上总偏移 = 板内侧移 y + 出板后直线段的偏移。

尖子生等效技巧: 出板速度方向的反向延长线,恰好交在偏转板的正中央(纵坐标 0 处)。于是可把整个偏转+直线段,等效成「粒子从偏转板中点、以出板方向沿直线射出」。设板中点到屏的距离为 (L/2 + D):

⚠ 这个「反向延长过板中央」是普适结论(只要板内是匀强电场、初速沿中线),证明:直线交点横坐标 = L − y/tanθ = L − (½at²)/(at/v₀) = L − t·v₀/2 = L − L/2 = L/2,即板中点。记住它,打屏题一步到位。

示波管:偏转电压 → 屏上图形

阴极射线管(CRT/示波管):电子枪加速电子 → 水平偏转板加锯齿波(让亮点匀速横扫,当作时间轴)→ 竖直偏转板加被测信号 → 屏上就画出信号随时间的波形。核心就是「侧移 ∝ 偏转电压」,电压变,亮点位置就变。

带电粒子在匀强电场中的圆周 / 平衡

若粒子在电场中受力平衡(如密立根油滴、带电小球悬浮):电场力 qE 与重力 mg 平衡 → qE = mg,由此可测电荷量。若做圆周运动,则电场力(或电场力与重力的合力)提供向心力,列 F向 = mv²/r。

电场力做功 W = qU,与路径无关

电场力做功只与起点、终点的电势差有关,与路径无关:W = qU_AB = q(φ_A − φ_B)。沿等势面移动电荷,电场力不做功。电场线总是垂直于等势面、由高电势指向低电势。

⚠ 判断做正功还是负功:正电荷沿电场线方向移动 → 正功(电势能减小);沿等势面移动 → 不做功。别只盯位移大小,要看沿场方向的分量。

看题目给的是什么粒子:

⚠ 见到「电子/质子/离子」默认不计重力;见到「小球/油滴/液滴」且给了质量,必须把 mg 加进去,常与电场力合成或平衡。判断不清就看:题目要不要用到 m 和 g,若给了 g 十有八九要算重力。

题型A — 加速求出射速度

触发信号:粒子从静止经电压 U加 加速,求到达时速度/动能。

标准动作:动能定理 qU加 = ½mv₀² − 0 → v₀ = √(2qU加/m)。若非从静止,写全 ½mv²−½mv₀²。

示例(带解):电子 q=1.6×10⁻¹⁹C,m=9.1×10⁻³¹kg,经 U加=200V 加速。v₀=√(2×1.6e-19×200/9.1e-31)≈8.4×10⁶ m/s。

陷阱:套成类平抛;非静止起步漏掉初动能;正负电荷只影响朝哪块板加速,不影响速率大小。

题型B — 偏转求侧移 / 偏转角

触发信号:粒子以 v₀ 射入偏转板,求离板时的侧移 y、偏转角 θ、末速度。

标准动作:分解:横向 t=L/v₀,纵向 a=qU偏/(md);y=½at²=U偏L²/(4dU加);tanθ=at/v₀=U偏L/(2dU加);末速 v=√(v₀²+v_y²)。

示例(带解):接题型A,U偏=100V,d=0.02m,L=0.05m。y=100×0.05²/(4×0.02×200)=0.25/16≈0.0156m=1.56cm。tanθ=100×0.05/(2×0.02×200)=5/8=0.625。

陷阱:y 公式里用了 U加 别写成别的电压;t 用板长/水平速度,不是斜线长。

题型C — 打屏位置

触发信号:板右端到屏距离 D,求屏上光点偏离中心的总距离 Y总。

标准动作:等效从板中央射出:Y总=(L/2+D)·tanθ。或分段:Y总 = y + D·tanθ。

示例(带解):接上,D=0.20m。Y总=(0.05/2+0.20)×0.625=0.225×0.625≈0.141m=14.1cm。

陷阱:忘了板内那段 y(或没用等效法);把 D 当成板中点到屏,应是板右端到屏。

题型D — 是否飞出偏转板

触发信号:问粒子能否射出偏转板,或求恰好射出/打到板上的临界电压。

标准动作:算板内侧移 y=U偏L²/(4dU加),与 d/2 比:y

示例(带解):求恰好射出的最大 U偏:d/2=U偏L²/(4dU加)→U偏=2d²U加/L²。数值代入即得临界值。

陷阱:用 d 而不是 d/2(粒子从中线进,只需偏 d/2 就撞板);打在板上的粒子横向位移 x

题型E — 示波管综合

触发信号:示波管/CRT,给加速电压、偏转电压、几何尺寸,求屏上偏移或所需电压。

标准动作:先加速求 v₀(或直接用 y=U偏L²/(4dU加) 消去 v₀),再等效从板中央求屏上偏移 Y=(L/2+D)tanθ。

示例(带解):已知 Y总、L、d、D、U加,反求所需 U偏:U偏=2dU加·Y总/[L(L/2+D)]。代数题,先列后代。

陷阱:混淆加速电压与偏转电压;几何量单位不统一(cm/m 要换算)。

题型F — 结合重力的平衡 / 悬浮

触发信号:带电小球/油滴在电场中静止、悬浮或匀速,求电荷量、场强或质量。

标准动作:受力平衡:qE=mg(竖直场)或矢量合成为零;由 qU/d=mg 解 q 或 U。做圆周则电场力(或与重力合力)=向心力。

示例(带解):油滴 m=2×10⁻¹⁵kg 悬浮于 U=100V、d=0.01m 的板间。qU/d=mg → q=mgd/U=2e-15×10×0.01/100=2×10⁻¹⁸C。

陷阱:漏掉重力(小球/油滴必算);电场力方向与电荷正负、板极性有关,判错方向平衡列反。

① 加速段用动能定理 qU加=½mv₀²,不是类平抛!加速是直线,偏转才是抛物线。

② 偏转段是类平抛:横向匀速、纵向匀加速 a=qU偏/(md)。别当成匀速直线。

③ 侧移 y=U偏L²/(4dU加):与 U偏 成正比、与 U加 成反比。q、m 全消掉。

④ 电子/质子/离子不计重力;小球/油滴/液滴给了 m 就必须算重力。

⑤ 打屏总偏移 = 板内 y + 出板直线段,或等效「从板中央射出」Y=(L/2+D)tanθ。别只算 y。

⑥ 是否飞出:临界侧移是 d/2(从中线进),不是 d。

⑦ 偏转时间 t=L/v₀,用板长和水平速度,不是斜线;末速要合成 v=√(v₀²+v_y²)。

⑧ 电场力做功 W=qU 与路径无关;沿等势面移动不做功。

① 等效从中央射出——一步秒杀打屏题: 只要偏转板内是匀强场、粒子沿中线射入,出板速度的反向延长线必过板的正中点。于是不管板后直线多长,总偏移 Y=(L/2+D)tanθ。证明只用 y=½at²、v_y=at 两式相除即得交点在 L/2 处。这一招把两段合成一段,省掉板内 y 的单独计算。

② 侧移与加速电压成反比——反直觉但极常考: y=U偏L²/(4dU加)。加速电压 U加 越大,你以为打得越狠偏得越多?恰恰相反——加速越猛,粒子水平飞得越快,在偏转板里停留时间 t=L/v₀ 越短,被横向推的时间少,反而偏得少。抓住「停留时间」这个中介,反比关系就顺理成章。

③ q、m 为什么会消失? 侧移公式里电荷、质量全约掉,说明只要是同一 U加 加速、同一 U偏 偏转,不同粒子(电子、质子、离子)打在屏上的位置竟然相同(不计重力时)。这背后是「加速给的动能 ∝ q,偏转给的力也 ∝ q」——q 在分子分母同时出现,自然抵消。理解这点,一类比较题瞬间清空。

④ 偏转段的能量视角: 偏转时电场力做正功,粒子动能增大(末速 v>v₀),但水平分速度 v₀ 始终不变,增加的动能全在纵向 ½mv_y²。这与平抛中「水平动能不变、竖直动能增加」完全一致。用能量法可验算末速,双保险。

⑤ 把两把『枪』看成一条流水线: 加速板管『速度』(定 v₀),偏转板管『方向』(定 θ)。示波管、质谱仪、电子显微镜都是这条流水线的变体。抓住『先定速率、再定偏向』的分工,再复杂的器件题也能拆成加速段+偏转段两块标准积木。