这一章看着吓人,其实核心只有一句:带电粒子进匀强磁场,走的是匀速圆周。难点不在公式,难在「画对那个圆」——找圆心、用几何、判临界。这页给你一套画圆三步法 + 全题型地图,再用动画把每个模型拨给你看。
方向——左手定则(对正电荷): 伸左手,让磁感线穿过手心(B 指向掌心),四指指向 v(速度)方向,那么大拇指指的就是洛伦兹力 F 的方向。负电荷:先按正电荷判,再反向。
⚠ 洛伦兹力 F 始终垂直于 v(也垂直于 B),所以它永远不做功,只改变速度方向、不改变速率。粒子速率恒定 → 匀速圆周运动。这是全章的地基,先刻进骨头里。
洛伦兹力充当向心力:qvB = mv²/r,解得——
半径 r=mv/(qB): 动量 mv 越大,圈越大;磁场/电量越大,圈越小。r ∝ v(同一粒子同一磁场里)。
周期 T=2πm/(qB): 神奇之处——与速度 v 无关、与半径 r 无关!快的粒子走大圈、慢的走小圈,转一圈用的时间竟然一样。这是回旋加速器能工作的根本原因。
⚠ 求「在磁场里待多久」,是用圆心角 φ 占比算时间 t=(φ/2π)T,不是用弧长除速度硬凑。先画圆、定圆心角,时间自然出来。
调 v 看 r 变(r∝v),但调 v 时 T 不动(T 与 v 无关!)。正负电荷转向相反。速率永远不变、W 恒为 0。
左手定则口诀: 磁感线穿掌心,四指指向速度 v,大拇指即是力 F(对正电荷)。负电荷把结果反过来。三者两两垂直(F⊥v、F⊥B)。
| 电荷 | v 方向 | B 方向 | F 方向(记法) |
|---|---|---|---|
| 正 + | → 右 | ⊙ 出纸面 | ↑ 上(左手定则) |
| 正 + | → 右 | × 入纸面 | ↓ 下 |
| 负 − | → 右 | ⊙ 出纸面 | ↓ 下(正的反向) |
⚠ 最大坑:忘了负电荷要反向。以及把「右手定则」(用于感应电流/安培力有时混)误用到洛伦兹力上。洛伦兹力判方向一律左手,负电荷再反一次。
选完看粉色箭头(F 方向)。改任一项,力方向立刻更新。验证一下「负电荷反向」。
⚠ 圆心一定在垂直于 v 的方向,不是沿 v 方向!很多人顺着速度画,全盘皆错。正负电荷圆心分居两侧。
① 弦与半径: 入射点、出射点连成弦 L,弦长 L = 2r·sin(φ/2),φ 是弦对的圆心角(也是速度偏转角)。
② 偏转角 = 圆心角: 速度方向转过的角 φ,等于这段弧对应的圆心角。进出速度夹角就是 φ。
③ 半径垂直速度: 圆心到入射点的连线 ⊥ 入射 v;到出射点连线 ⊥ 出射 v。这两条半径的夹角 = φ。
⚠ 偏转角 φ 和「弦与速度的夹角」不是一回事!φ 是圆心角(=进出速度夹角)。弦与入射速度夹角是 φ/2。别混。
灰线是直线边界,粒子从下方边界某点射入上半区(有磁场 ⊙)。圆心在垂直 v 处。看它是回到边界射出还是留在区内绕圈——改入射角/半径试临界。
粒子从直线边界进入有界磁场区。圆心在垂直 v 方向,画出圆,看圆弧与边界的第二个交点 = 出射点。弦连入射与出射点。
是否射出: 若整个圆都在磁场区内 → 一直绕圈不出来;若圆越过边界 → 从第二交点射出。射入角 = 射出角(对称)。
磁场区是个圆。常见结论:沿半径方向射入 → 必沿半径方向射出(几何对称)。求偏转、弦长同样用 L=2r·sin(φ/2)。
最大偏转 / 恰好射出 / 恰好不射出: 让轨迹圆与边界相切就是临界。r 变大圈变大,常问「r 多大恰好从某点射出 / 恰好不越界」。画出临界圆,用几何(相切、垂直)求 r 或 v。
⚠ 临界题的钥匙是「相切」和「r 可变(v 可变)」。画一族半径不同的圆,找到刚好擦过边界/目标点的那个。别只画一个圆就下结论。
让电场 E 与磁场 B 正交,粒子横穿。电场力 qE 与洛伦兹力 qvB 方向相反。只有某一特定速度能直线通过——
速度恰为 v=E/B 的粒子受力平衡、直行;其余(更快/更慢)被偏转,打在挡板上被筛掉。选出速度 v=E/B 的粒子束。
选速后的粒子(同速 v)进入匀强磁场做圆周,r=mv/(qB)。质荷比 m/q 不同 → 半径不同 → 落点不同,从而分离/测量同位素。
两个 D 形盒之间加交变电压,每次经过缝隙被加速一次。因为周期 T=2πm/(qB) 与速度无关,交变电压频率固定即可持续同步加速。速度越大半径越大,螺旋往外,最后从边缘射出。
从同一点、以相同速率但不同方向射出的粒子(速度都垂直 B),周期相同,经过同样时间(半个周期)后会重新汇聚到一点——这就是磁聚焦,示波器、电子透镜的原理。
⚠ 速度选择器:v=E/B 与 q、m 无关,所以能同时筛不同粒子的速度。质谱仪才靠 r=mv/(qB) 按 m/q 分开。两步别混。回旋加速器的灵魂是「T 与 v 无关」。
三束不同速度粒子横穿正交场。只有 v=E/B 的中束直行通过狭缝,快的被磁场力压弯、慢的被电场力推弯。改 E/B 看临界速度跟着变。
三种粒子同速进入磁场,质荷比 m/q 越大 → r 越大 → 落点越远(落点距入射口 = 2r)。这就是质谱仪测同位素的原理。
r=mv/(qB):固定 B 看 r 与 v 成正比(直线过原点);固定 v 看 r 与 B 成反比(双曲线)。周期 T 全程与 v 无关。
一步步点,看「垂直 v 找圆心」怎么落地。圆心永远在过入射点、垂直速度的那条线上。
触发信号:给 q、m、v、B(或其中几个),问 r、T、在磁场中运动时间。
标准动作:r=mv/(qB);T=2πm/(qB);待的时间 = (圆心角 φ/2π)·T。先画圆定 φ。
示例(带解):q=1.6×10⁻¹⁹C,m=1.67×10⁻²⁷kg,v=2×10⁶m/s,B=0.5T。r=mv/(qB)=(1.67×10⁻²⁷×2×10⁶)/(1.6×10⁻¹⁹×0.5)≈0.042m。T=2πm/(qB)≈1.3×10⁻⁷s。
陷阱:求时间硬用弧长/v;忘了 T 与 v 无关(算 T 不该出现 v)。
触发信号:给入射点、出射点(或弦、偏转角),求 r、v 或路径。
标准动作:圆心 = 垂直入射 v 那条线 ∩ 垂直出射 v 那条线(或用「离两点都 r 远」);弦 L=2r·sin(φ/2)。
示例(带解):粒子进出速度夹角 60°(=圆心角 φ),弦长 L=0.1m。r=L/(2sin30°)=0.1/(2×0.5)=0.1m。
陷阱:圆心画在沿 v 方向(应垂直);把弦与速度夹角当成偏转角。
触发信号:直线或圆形边界磁场区,问从哪射出、能否射出、覆盖最大区域。
标准动作:画圆(圆心垂直 v);求圆弧与边界第二交点;临界看「轨迹圆与边界相切」。
示例(带解):宽 d 的磁场带,粒子垂直边界射入,恰好不穿出 → 临界 r=d(圆与远边界相切),由 r=mv/(qB) 反解最大 v=qBd/m。
陷阱:只画一个圆;忘了 r 可随 v 变、临界是相切;射入射出角对称没用上。
触发信号:正交电磁场、粒子直线通过 / 被筛选。
标准动作:直行条件 qE=qvB → v=E/B(与 q、m 无关);其余速度被偏转。
示例(带解):E=1×10⁴V/m,B=0.2T。选出速度 v=E/B=5×10⁴m/s。只有此速度直行。
陷阱:以为 v 与电荷/质量有关(其实无关);电场力与洛伦兹力方向判反。
触发信号:选速后进磁场偏转,测同位素、分离不同 m/q。
标准动作:r=mv/(qB);落点到入口距离 = 2r;由 r 反求 m/q 或质量。
示例(带解):同速 v,B 固定,两同位素落点 2r₁、2r₂,r∝m ⇒ 质量比 = 落点距离比。
陷阱:忘了落点距离是 2r 不是 r;把速度选择器的 v=E/B 和质谱的 r 混算。
触发信号:D 形盒、交变电压、多次加速、求最大速度/动能/频率。
标准动作:每过缝隙加速一次;T=2πm/(qB) 与 v 无关 → 交变频率 f=1/T=qB/(2πm) 固定;边缘 v_max=qBR/m。
示例(带解):D 盒半径 R,则 v_max=qBR/m,最大动能 Ek=½mv_max²=q²B²R²/(2m)。
陷阱:以为频率要随速度变(其实 T 恒定);把 D 盒半径 R 当轨迹半径 r。
① 左手定则判方向,负电荷记得反向;别用右手定则判洛伦兹力。
② 洛伦兹力永不做功——速率不变,只改方向。任何「洛伦兹力做了多少功」的答案都是 0。
③ 周期 T=2πm/(qB) 与速度、半径无关;算 T 的式子里不该出现 v 或 r。
④ 圆心在垂直于 v 的方向,不是沿 v!正负电荷圆心分居两侧。
⑤ 偏转角 φ = 圆心角 = 进出速度夹角;弦与速度夹角是 φ/2,别混。
⑥ 求在磁场里的时间用圆心角占比 t=(φ/2π)T,不是弧长/v 硬套。
⑦ 速度选择器 v=E/B 与 q、m 无关;质谱仪 r=mv/(qB) 才按 m/q 分。
⑧ 临界/最值题必画「相切」的临界圆,且记住 r 随 v 可变。
⑨ 落点距离是 2r(直径),不是 r。
① 圆心是「两条垂线的交点」: 圆心必在过入射点垂直入射 v 的直线上,也在过出射点垂直出射 v 的直线上。两条垂线一交,圆心秒定,r 就是圆心到任一点距离。这比联立方程快得多。
② 弦、半径、圆心角三角形: 圆心 O、入射点 A、出射点 B 构成等腰三角形(OA=OB=r),顶角 = 圆心角 φ = 偏转角。弦 AB=2r·sin(φ/2),弦的中垂线过圆心。看到弦就想到这个等腰三角形,角度全出来。
③ 「半径转过的角 = 速度转过的角」: 因为半径始终垂直速度,速度方向转 φ,连接圆心的半径也转 φ。把速度偏转角直接搬成圆心角,是几何法的核心桥梁。
④ 临界用「动圆」思维: v(或 r)可变时,想象一族同心方向、不同半径的圆。让圆相切于边界或恰过目标点 → 临界 r。相切条件(圆心到边界距离=r)一列,最值立现。
⑤ 对称性省一半功夫: 直线边界:射入角=射出角;圆形边界沿半径入必沿半径出;磁聚焦同点不同向、半周期后重聚。识别对称,几何量成对出现,不必逐个硬算。
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