平抛和圆周是曲线运动的两大主角:一个靠「分解」化曲为直,一个靠「向心力」拉住转圈。公式看着多,其实各只有一个核心思想。这页把两套模型拨开给你看,再用动画把每个临界点演给你。
平抛物体只受重力。以抛出点为原点,水平为 x、竖直向下为 y:
轨迹方程:把 t=x/v₀ 代入 y=½gt²,得 y = g/(2v₀²) · x² —— 是一条抛物线(开口向下的一半)。
关键几何关系(常考):速度偏角 θ(与水平)满足 tanθ=gt/v₀;位移偏角 α 满足 tanα=y/x=(½gt²)/(v₀t)=gt/(2v₀)。所以 tanθ = 2·tanα —— 速度方向比位移方向「更陡」,这是平抛的招牌结论。
⚠ vx=v₀ 永远不变,别以为水平方向也在加速;g 只作用在竖直方向。别把「速度方向」和「位移方向」混为一谈,二者的偏角不同(tanθ=2tanα)。
蓝箭头=水平分速度(恒定),绿箭头=竖直分速度(越来越长),红箭头=合速度。灰线=抛物线轨迹。落地时间只由 h 决定。
合速度 = 水平分速度 ⊕ 竖直分速度(矢量三角形)。随着 t 增大,vy=gt 线性增长,合速度越来越大、方向越来越陡。这个矢量三角形是平抛所有「求速度/求角度」题的图解基础。
蓝=vx(横),绿=vy(竖),红=合速度斜边。拖时间条:vx 不变,vy 增长,合速度变长变陡。
类平抛:物体受一个与初速度垂直的恒力(如带电粒子进入匀强电场、光滑斜面上初速度沿水平方向)。处理方法和平抛完全一样,只是把 g 换成该方向的加速度 a:初速度方向匀速,垂直方向「匀加速由静止」。
情形A — 从斜面顶端水平抛出,落回同一斜面:关键是「位移方向沿斜面」。设斜面倾角 φ,则位移偏角 α=φ,tanφ = y/x = (½gt²)/(v₀t) = gt/(2v₀) → 解出 t = 2v₀tanφ/g。
情形B — 求落到斜面时速度与斜面的关系:若问「速度垂直于斜面」,用 vy/vx 的方向;若问「离斜面最远」,用「垂直斜面方向的分速度为零」的临界。
情形C — 从斜面顶水平抛出落到水平地面:就是普通平抛,时间由总下落高度定 t=√(2h/g)。
⚠ 斜面平抛最容易错在「用错偏角」:落回斜面用位移偏角 α=φ(tanφ=gt/2v₀);「速度垂直斜面」用速度偏角(vx/vy 与 φ 互余)。先判断题目问的是位移还是速度!
落回斜面:落点在斜面上,位移沿斜面,tanφ=gt/2v₀。落到水平面:时间只看高度 t=√(2h/g)。
| 量 | 定义 / 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 线速度 v | v = 2πr/T = ωr | 沿切线方向,大小=快慢 |
| 角速度 ω | ω = 2π/T = 2πf | 单位时间转过的角度(rad/s) |
| 周期 T / 频率 f | T = 1/f | 转一圈的时间 / 每秒转几圈 |
| 向心加速度 a | a = v²/r = ω²r = (4π²/T²)r | 指向圆心,只改变方向 |
| 向心力 F | F = ma = mv²/r = mω²r | 合力,指向圆心 |
匀速圆周运动:速率不变,但速度方向时刻在变 → 是变加速运动。加速度(向心)始终指向圆心、垂直于速度,只改变方向不改变快慢。
⚠ 「离心力」在高中不是真实的力,别当受力分析的一项。物体做圆周需要的是向心力;向心力不足时物体会「沿切线飞出/远离圆心」,那是惯性,不是有个力把它往外推。
红箭头(向心加速度)始终指向圆心,长度∝a。v 加倍 → a 变 4 倍;r 加倍 → a 减半。
小球用绳吊着在水平面内转圈,绳与竖直方向成角 α。小球只受重力 mg 和绳张力 T。竖直方向平衡,水平方向的合力提供向心力:
两式相除:tanα = v²/(rg) = ω²r/g。r=Lsinα(L=绳长)。可推出 ω=√(g/(Lcosα)) —— 转得越快,绳张开越大(α 越大)。
汽车水平转弯:向心力由地面静摩擦提供,f=mv²/r;临界速度 v_max=√(μgr),超了就打滑。火车/斜坡转弯:靠重力与支持力的合力(轨道内倾)提供向心力。水平桌面绳连球:绳张力就是全部向心力,T=mv²/r=mω²r。
⚠ 圆锥摆里张力 T 不等于 mg(T=mg/cosα > mg);向心力是「水平方向的合力」,竖直方向不提供向心力。转弯题先问「谁提供向心力」:摩擦?支持力分量?张力?
绿=重力mg(竖直向下),蓝=绳张力T(沿绳),红=向心力(水平指向圆心=Tsinα)。α越大,T和向心力都变大。
竖直圆周里,最高点向心力指向圆心(竖直向下)。看约束能不能提供向下的支持,决定临界条件。设最高点速度 v顶、半径 r:
绳只能沿绳向内拉(N≥0)。最高点最小临界:N=0,此时全靠重力当向心力:
若 v顶 < √(gr):绳会松弛、小球做不成圆周(提前脱离,变平抛)。所以绳模型「能过最高点」的条件是 v顶 ≥ √(gr)。
杆(或双轨圆管)在最高点既能向内拉、也能向外顶(N 可正可负)。所以 v顶 可以≥0 的任意值都能通过,没有 √(gr) 下限。
| 最高点速度 | 杆的作用力方向 |
|---|---|
| v顶 > √(gr) | 需要向下的合力更大 → 杆向下拉(张力,同绳) |
| v顶 = √(gr) | 杆力 N=0,重力恰好当向心力 |
| 0 ≤ v顶 < √(gr) | 重力太大 → 杆向上顶(支持力),把物体撑住 |
⚠ 绳模型必须 v顶≥√(gr) 才能过顶;杆模型任意 v顶≥0 都能过。别把两者混:考试常给「细绳」还是「轻杆/管」这一个字眼定生死。最低点张力最大:N=mg+mv底²/r。
虚线=临界速度 √(gr)。绳模型 v顶低于临界会松弛脱离(变平抛);杆模型任意速度都能撑住通过。
① 同轴传动(共轴/固连):角速度相同。 同一根轴上的点,转一圈用同样时间 → ω相同,T相同。此时线速度 v=ωr 与半径成正比:v₁/v₂ = r₁/r₂。
② 皮带/齿轮传动(不打滑):接触点线速度相同。 皮带不打滑,两轮边缘线速度相等 → v相同。此时角速度与半径成反比:ω₁/ω₂ = r₂/r₁,即 ω₁r₁=ω₂r₂。
齿轮啮合同皮带(边缘 v 相同);齿数比 = 半径比,转速(ω 或 n)与齿数成反比。
⚠ 判断口诀:看连接方式——「同一根轴」→ ω 相同;「皮带/齿轮边缘相接」→ v 相同。搞反了整题皆错。向心加速度用哪个公式看已知量:同轴题常用 a=ω²r,皮带题常用 a=v²/r。
同轴:两轮 ω 相同(转速一致),大轮边缘 v 更大。皮带:边缘 v 相同,小轮转得快(ω 大)。
触发信号:水平抛出、只受重力,问落地时间、飞多远、落地速度或方向。
标准动作:竖直定时间 t=√(2h/g) → 水平算射程 x=v₀t → vy=gt,末速 v=√(v₀²+vy²) → 角度 tanθ=gt/v₀。
示例(带解):h=5m,v₀=10m/s,g=10。t=√(2×5/10)=1s;射程 x=10×1=10m;vy=gt=10m/s;末速 v=√(10²+10²)=10√2≈14.1m/s;tanθ=10/10=1→θ=45°。
陷阱:以为初速度大就落地慢(错,时间只看 h);把位移偏角当速度偏角(tanθ=2tanα)。
触发信号:带电粒子垂直进入匀强电场;或初速沿光滑水平面进入一个恒定横向加速度区。
标准动作:把 g 换成 a=qE/m(或题给 a);沿初速匀速 x=v₀t,垂直匀加速 y=½at²,tanθ=at/v₀,完全套平抛。
示例(带解):电子以 v₀ 水平进入板长 L 的电场,a=qE/m 竖直。穿越时间 t=L/v₀;偏移 y=½a(L/v₀)²;出射偏角 tanθ=at/v₀=aL/v₀²。
陷阱:重力常可忽略(电场力远大于重力,题目会说);把加速度方向搞反。
触发信号:从斜面顶端水平抛出,落回斜面 / 落到坡底 / 问速度与斜面关系。
标准动作:落回斜面用位移偏角 tanφ=gt/(2v₀)→t=2v₀tanφ/g;速度垂直斜面用速度偏角;落到水平面用 t=√(2h/g)。
示例(带解):φ=37°(tan37°=0.75),v₀=4m/s,g=10,落回斜面。t=2×4×0.75/10=0.6s;沿斜面位移 s=v₀t/cosφ=4×0.6/0.8=3m。
陷阱:落回斜面用位移偏角,别用速度偏角;先判「落回斜面」还是「落到水平面」。
触发信号:绳吊小球水平转圈、漏斗内小球、汽车/火车水平转弯。
标准动作:竖直方向平衡(Tcosα=mg 或 N分量抵消重力),水平合力=mv²/r;tanα=v²/(rg)。转弯 f=mv²/r,临界 v_max=√(μgr)。
示例(带解):绳长 L=1m,绳与竖直成 α=37°转圈,g=10。r=Lsinα=0.6m;tanα=v²/(rg)→0.75=v²/(0.6×10)→v²=4.5→v≈2.12m/s;T=mg/cosα=mg/0.8=1.25mg。
陷阱:误以为 T=mg;竖直方向不提供向心力;转弯超速判据 v_max=√(μgr)。
触发信号:过山车、水流星、绳/杆带球在竖直面转,问最高点最小速度、最低点张力、恰好过顶。
标准动作:绳模型最高点 v临=√(gr)(N=0);杆模型任意 v≥0 可过。最低点 N=mg+mv底²/r;用机械能守恒连接顶底 v底²=v顶²+4gr。
示例(带解):绳长 r=0.4m,恰好过最高点,g=10。v顶=√(gr)=√4=2m/s;v底²=v顶²+4gr=4+16=20,v底=√20≈4.47m/s;最低点 T=mg+mv底²/r=mg+m×20/0.4=mg+50m=6mg。
陷阱:把杆当绳(杆没有 √(gr) 下限);顶底速度用机械能守恒别忘 4gr 高度差(2r)。
触发信号:皮带轮、齿轮、自行车链条、同轴转盘,问某点 v、ω、a 之比。
标准动作:先判连接:同轴→ω相同(v∝r);皮带/齿轮→v相同(ω∝1/r)。再套 a=v²/r 或 ω²r 求比值。
示例(带解):皮带连两轮 r₁=0.1m、r₂=0.2m。v相同→ω₁/ω₂=r₂/r₁=2;a₁/a₂=(v²/r₁)/(v²/r₂)=r₂/r₁=2。小轮向心加速度是大轮的2倍。
陷阱:同轴和皮带的关系搞反;自行车前后齿轮啮合等价皮带(v 相同)。
① 平抛落地时间只看高度 t=√(2h/g),跟 v₀ 无关;两物同高同时落地。
② 平抛速度偏角与位移偏角不同:tanθ = 2·tanα(速度更陡)。
③ 向心力是合力,不是新增的力!受力图上别额外画一个「向心力」,那是重复。
④ 竖直圆周绳与杆要分清:绳需 v顶≥√(gr);杆任意 v≥0 都能过。
⑤ 圆锥摆张力 T=mg/cosα > mg,不等于 mg;竖直方向不提供向心力。
⑥ 「离心力」在高中不是真实力,受力分析里没有它;向心力不足就沿切线飞出(惯性)。
⑦ 传动:同轴 ω 相同、皮带/齿轮 v 相同——判连接方式,别搞反。
⑧ 匀速圆周是变加速运动(方向变);向心加速度不改变速率大小。
⑨ 斜面平抛:落回斜面用位移偏角,速度垂直斜面用速度偏角,先看题问的是哪个。
① 分解思想是曲线运动的总钥匙: 平抛、类平抛、带电粒子偏转全是「把一个二维运动拆成两个独立的一维运动」。养成先建坐标(沿力/垂直力)、再分别用匀速+匀变速处理的条件反射,任何「初速度垂直恒力」的题一把抓。
② tanθ=2tanα 背后是几何: 平抛任意时刻速度反向延长线交 x 轴于水平位移中点。这条「中点法则」是很多几何证明题的秒杀点——速度方向、位移方向、抛出点三者构成固定几何关系,记住比硬算快。
③ 向心力方程只是牛顿第二定律: F向=mv²/r 不是新公式,它就是 ΣF=ma 在「加速度指向圆心」时的样子。做题永远是「受力分析 → 沿半径列 ΣF=mv²/r,沿切线管速率变化」。把它当牛二法,而不是背一个孤立公式。
④ 竖直圆周的「顶底能量桥」: 顶点和底点用机械能守恒连接 v底²=v顶²+4gr(高度差 2r)。把「临界(顶)」和「张力(底)」两问用这一条式子串起来,是竖直圆周综合题的标准骨架。
⑤ 圆周与平抛常联手出压轴: 「恰好过最高点后变平抛」「转弯脱离后抛体」——识别脱离/临界的那一刻(N=0 或速度沿切线),把它作为衔接点:圆周段的末速度=平抛段的初速度。这类多过程题的关键就是找准这个交接点。
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