库仑定律与电荷

两种电荷 + 元电荷

自然界只有正电荷(丝绸摩擦过的玻璃棒)和负电荷(毛皮摩擦过的橡胶棒)两种。同种相斥,异种相吸。

元电荷是最小的电荷单元,任何带电体电荷量都是 e 的整数倍:Q = n·e。电子、质子带的电荷量大小都等于 e(电子带 −e,质子带 +e)。

比荷(荷质比)是电荷量与质量的比值,电子比荷 ≈ 1.76×10¹¹ C/kg,是描述带电粒子的重要参量。

三种起电方式

⚠ 起电不是『创造电荷』,是电荷转移/重新分布。摩擦起电两物带等量异种电荷(总和仍为0);感应起电时导体不接触也能感应出电荷,但整体电荷守恒。

接触分电荷的铁律

两个完全相同的金属球(半径相同)接触后再分开,总电荷会平均分配到两球上。

关键是代数和:异种电荷接触会先中和。例如 +6C 和 −2C 接触 → 各带 (+6−2)/2 = +2C。

⚠ 只有完全相同(等大)的金属球才平分!球大小不同时按比例分配(不是简单平分),中学题一般只考相同球。做题第一步:先分电荷,再代入库仑定律算力!很多题故意让球先接触改变电荷量。

文字表述: 真空中两个点电荷之间的作用力,与它们电荷量的乘积成正比,与它们距离的平方成反比,作用力方向沿两点电荷的连线。

⚠ 库仑定律只适用于点电荷!两个带电大球靠得很近时不能直接用(电荷分布会变)。求力大小时 q₁、q₂ 代电荷量绝对值,方向靠『同斥异吸』单独判断,别让负号进公式算出『负的力』。

叠加原理

一个电荷受多个电荷作用时,分别用库仑定律算出每一个对它的力,再按力的合成(平行四边形/正交分解)求合力。这叫力的叠加原理。

常见几何: 两力夹角 θ,合力 F = √(F₁²+F₂²+2F₁F₂cosθ)。等边三角形三电荷时夹角 60°;直角时 F = √(F₁²+F₂²)。

⚠ 库仑力是矢量,绝不能直接把大小相加!必须先定方向再合成。等大的两个力夹角 120° 时合力大小 = 单个力(常考陷阱)。

三点电荷平衡口诀

三个点电荷在一条直线上都处于平衡,存在两条铁律:

经典模型: 两个正电荷 Q₁、Q₂ 固定,中间放一个电荷 q 使 q 平衡。设 q 距 Q₁ 为 x,距 Q₂ 为 (L−x)。平衡条件:

注意: 中间电荷 q 的正负和大小都不影响它自己的平衡位置(位置只由 Q₁、Q₂ 决定)!但要让三个电荷都平衡,q 的符号有要求(两同夹异)。

⚠ 判位置:被平衡的电荷一定在『两同夹异』的中间或『异号』的外侧靠小电荷。x/(L−x)=√(Q₁/Q₂),离小电荷近。若问『q 取何值使三个都平衡』要另列 Q₁、Q₂ 各自的平衡方程。

悬挂带电小球模型

带电小球用绝缘细线悬挂,旁边另一个电荷使它偏离竖直方向,静止时受三个力平衡:重力 mg(竖直向下)、绳张力 T(沿绳)、库仑力 F(沿连线,水平方向常见)。

标准解法: 若库仑力 F 水平、重力竖直,绳与竖直方向夹角 θ,则:

由此 F = mg·tanθ,再代库仑定律 F=kq₁q₂/r² 求电荷量或距离。也可直接用相似三角形:力三角形与几何三角形相似,对应边成比例。

⚠ 绳张力 T 不是已知量,别把 T 当 mg!用 tanθ=F/mg 消去 T 最快。若两球互相悬挂(对称),各自偏角相同,库仑力等大反向。别漏画重力或方向搞错。

题型A — 接触分电荷再算力

触发信号:『两相同金属球先接触后分开』『带电球接触不带电球』,然后问相距 r 时的库仑力。

标准动作:① 先算接触后各球电荷 q′=(Q₁+Q₂)/2(代数和);② 再代库仑定律 F=kq′q′/r²。

示例(带解):相同球 A 带 +6×10⁻⁶C,B 带 −2×10⁻⁶C,接触后分开相距 r=0.3m。接触后各带 q′=(6−2)/2=+2×10⁻⁶C。F=9×10⁹×(2×10⁻⁶)²/0.3²=9×10⁹×4×10⁻¹²/0.09=0.4N,同种电荷相斥。

陷阱:忘记先接触分电荷,直接拿原电荷算力;代数和忘记异号先中和。

题型B — 库仑力的矢量合成

触发信号:三个及以上电荷,求某一个电荷受到的『合力』;等边三角形/直角摆放。

标准动作:逐对算库仑力 → 定方向(同斥异吸)→ 平行四边形或正交分解求合力大小与方向。

示例(带解):等边三角形边长 a,三顶点各放 +q。任一电荷受另两个的斥力各 F=kq²/a²,夹角 60°,合力 F合=2F·cos30°=√3·kq²/a²,方向沿角平分线向外。

陷阱:把两个力大小直接相加;夹角判错;等大两力夹角 120° 合力=单个力没看出来。

题型C — 三电荷共线平衡

触发信号:三个点电荷在一条直线上都静止(平衡),求第三个电荷的位置/电荷量/符号。

标准动作:用『两同夹异、近小远大』先定位置区间 → 列 kQ₁q/x²=kQ₂q/(L−x)² → x/(L−x)=√(Q₁/Q₂) 解位置;要三个都平衡再列两端电荷的方程定 q。

示例(带解):Q₁=+q、Q₂=+4q 相距 L,中间放 Q₃ 使 Q₃ 平衡。x/(L−x)=√(1/4)=1/2 → x=L/3(离小电荷 Q₁ 近)。Q₃ 位置只由 Q₁、Q₂ 定,与其电荷无关。

陷阱:位置算成离大电荷近(反了);中间电荷符号:两端同号则中间放异号才能三者都平衡。

题型D — 带电小球平衡(库仑力+重力+绳)

触发信号:绝缘线悬挂带电小球,旁有电荷使其偏离竖直;求电荷量、距离、绳张力或偏角。

标准动作:受力分析(mg、T、F 三力)→ 正交分解或矢量三角形 → tanθ=F/mg → 代库仑定律求未知量。

示例(带解):小球 m=0.01kg,g=10,绳偏离竖直 45°,库仑力水平。F=mg·tan45°=0.01×10×1=0.1N。若另一电荷 q₂ 距离 r=0.3m,q₁=q₂=q,则 kq²/r²=0.1 → q²=0.1×0.09/(9×10⁹)=10⁻¹² → q=10⁻⁶C。

陷阱:把绳张力当成 mg;偏角对应的力关系搞反(tanθ=F/mg 不是 mg/F);漏画某个力。

① 接触后电荷平分只对『完全相同(等大)的金属球』成立,且分的是代数和(异号先中和)。做题先分电荷再算力!

② 库仑定律只适用于真空中的点电荷。大带电球靠很近时电荷分布改变,不能直接套公式。

③ 算力大小时 q₁、q₂ 代电荷量绝对值;方向用『同斥异吸』另判,别把负号代进去算出负力。

④ 库仑力是矢量,多电荷受力不能大小直接相加,必须矢量合成。

⑤ 三电荷平衡『近小远大』:被平衡电荷离小电荷近、离大电荷远;别记反。位置 x/(L−x)=√(Q₁/Q₂)。

⑥ 中间电荷的平衡位置只由两端电荷决定,与它自身电荷量、正负无关。

⑦ 悬挂小球:绳张力 T ≠ mg;用 tanθ=F/mg 消去 T。三力平衡要么正交分解要么用力三角形。

⑧ 库仑力方向永远沿两电荷连线,一对作用力等大反向(牛三),与两电荷是否相等无关。

⑨ 元电荷 e=1.6×10⁻¹⁹C 是电荷量最小单元,任何带电量是它的整数倍;别把 e 当成电子(e 是量,电子是粒子)。

① 库仑定律与万有引力是『同一副骨架』: F=kq₁q₂/r² 和 F=Gm₁m₂/r² 结构完全一样(平方反比、正比于两『源』之积)。区别只有:引力恒吸、库仑有斥;引力常量极小、库仑常量极大。把静电力当『会排斥的引力』,很多结论(如壳层定理、平方反比场的通量)可直接迁移。

② 平衡问题先『定性』再『定量』: 三电荷平衡、悬挂小球,先用『同斥异吸+近小远大』判断出方向和大致位置,再列方程。定性判断对了,方程只是收尾;定性错了,方程再对也白搭。养成先画受力图、标方向的习惯。

③ 『先分电荷再算力』是接触类题的命门: 题目让球接触往往是为了改变电荷量制造陷阱。看到『接触』两字,立刻写 q′=(Q₁+Q₂)/2,再往下算。相同球接触多次、或与多个球依次接触,一步步取代数和平分。

④ 力三角形 vs 正交分解——挑快的用: 悬挂小球三力平衡,若给了角度用 tanθ=F/mg 最快;若给了边长比例(相似三角形),直接对应边成比例,连角度都不用求。识别题目给的是角还是长度,选对工具省一半时间。

⑤ 比例法秒杀选择题: 库仑定律里 F∝q₁q₂/r²。电荷或距离成倍变化时,不必代 k 硬算,直接用比例:『电荷各翻倍、距离翻倍 → F 变 4/4=1 倍(不变)』。平方反比让 r 的变化被放大,这是估算的利器。