直线切进圆锥曲线，割出一条弦。这一页只讲两件事:一是求弦有多长——联立+韦达+弦长公式,一路算到底;二是已知中点求弦的斜率——不联立,直接用点差法两式相减,一步拿到斜率与中点的关系。再往上,垂直平分线过定点、焦点弦长,全是这两把刀的延伸。
直线 y=kx+m 交曲线于 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)。两点距离本是 √((x₁−x₂)²+(y₁−y₂)²),因为 y=kx+m,所以 y₁−y₂=k(x₁−x₂),提出来就得 |AB|=√(1+k²)·|x₁−x₂|。而 |x₁−x₂| 用韦达定理化成 √((x₁+x₂)²−4x₁x₂),全程不用真的解出 x₁、x₂。
| 情形 | 弦长公式怎么写 |
|---|---|
| 斜率 k 存在(常用) | |AB|=√(1+k²)·√((x₁+x₂)²−4x₁x₂) (消 y，对 x 用韦达) |
| 斜率 k 不存在(竖直弦) | 直线 x=x₀，弦长 |AB|=|y₁−y₂|=√((y₁+y₂)²−4y₁y₂) |
| 用 y 更方便时 | |AB|=√(1+1/k²)·|y₁−y₂|=√(1+1/k²)·√((y₁+y₂)²−4y₁y₂) |
⚠ 弦长公式里那个 √(1+k²) 配的是 |x₁−x₂|;若你用韦达算的是关于 y 的和与积,前面要换成 √(1+1/k²) 配 |y₁−y₂|。别把 x 的差和 y 的系数配错。
椭圆 x²/9+y²/4=1。拖两个滑块改变直线 y=kx+m。若直线与椭圆相交(Δ>0),红弦画出,弦长与中点实时更新;若相离(Δ<0),提示无交点。这就是「联立+韦达+弦长公式」的几何版。
标准流程: 把 y=kx+m 代入 x²/a²+y²/b²=1(椭圆)或 y²=2px(抛物线),整理成关于 x 的一元二次 Ax²+Bx+C=0。由韦达定理:x₁+x₂=−B/A,x₁x₂=C/A。代进弦长公式即可,全程不解方程。
注意 (x₁+x₂)²−4x₁x₂ 就是 (x₁−x₂)²,永远非负;它等于 Δ/A²,所以也可写成 |AB|=√(1+k²)·√Δ/|A|。
⚠ 联立后必须验 Δ>0——没有两个交点就没有弦。竖直弦(k 不存在)不能套 y=kx+m,要单独处理 x=x₀。
核心思想: A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂) 都在曲线上,各自满足曲线方程。把两个方程相减,平方差公式一拆,就冒出 (x₁+x₂)、(y₁+y₂)(与中点有关)和 (y₁−y₂)/(x₁−x₂)(就是弦的斜率 k)。中点坐标一代,k 立刻解出——全程不联立、不用韦达、不解方程。
同理: 抛物线 y²=2px 点差法得 k=p/y_M(=2p/(y₁+y₂));双曲线 x²/a²−y²/b²=1 得 k_AB·k_OM=+b²/a²(符号变正)。都是「代入相减」这一招。
⚠ 点差法给出的斜率必须回头验证 Δ>0(中点在曲线内部,直线才真能截出弦)。中点在椭圆外时,无解;这一步漏了要扣分。
椭圆 x²/9+y²/4=1(a²=9,b²=4)。拖中点 M。只要 M 在椭圆内部,程序用 k_AB=−(b²/a²)·(x_M/y_M) 算出弦斜率并画出对应弦(M 正好是它的中点)。M 跑到椭圆外就没有这样的弦——正是「中点必须在曲线内」的直观。
过定点的一族直线,斜率 k 不同,截出的弦长也不同。对椭圆过中心的弦,沿长轴方向的弦最长(=2a,长轴),沿短轴方向最短(=2b)。理解「弦长是 k 的函数」,是很多最值题的入口。
已知斜率 k 固定,让弦平移,求中点的轨迹: 对每条斜率为 k 的弦,中点 M 满足 k_AB·k_OM=−b²/a²,即 k·(y_M/x_M)=−b²/a²,整理得 y_M = −(b²/(a²k))·x_M——一条过原点的直线(截在椭圆内的一段)。这就是「平行弦中点共线」定理。
⚠ 中点轨迹只取椭圆内部那一段(弦要真存在)。别把整条直线都当轨迹。
椭圆 x²/9+y²/4=1,过中心的弦。横轴=斜率 k,纵轴=弦长。曲线告诉你:水平弦最长(2a=6),越竖直越短,趋近短轴 2b=4。红点是当前 k。
一族斜率相同的弦(灰色)平移扫过椭圆,每条弦的中点(蓝点)全部落在一条过中心的直线(绿线)上。验证 k·k_OM 恒等于 −b²/a²=−4/9。
套路: 弦 AB 的垂直平分线过弦的中点 M,斜率为 −1/k_AB。若题目要证「垂直平分线过某定点」或求定点,先用点差法拿到 M 与 k_AB 的关系,写出垂直平分线方程 y−y_M=−(1/k)(x−x_M),再消参数找定点。
抛物线 y²=2px: 过焦点的弦 AB,焦半径 r=x+p/2(到准线距离),所以焦点弦长 |AB|=x₁+x₂+p。这是抛物线焦点弦最快的公式,不用勾距离。
椭圆: 焦半径 r=a±ex(e 为离心率),过焦点弦长 |AB|=r₁+r₂=2a−e(x₁+x₂)(左焦)。通径(垂直长轴的焦点弦)长 2b²/a,是椭圆最短的焦点弦。
⚠ 焦点弦优先用焦半径/焦准公式(x₁+x₂+p),别一上来就勾距离硬算。搞清是左焦还是右焦,焦半径符号别错。
抛物线 y²=4x(2p=4,p=2,焦点 F(1,0),准线 x=−1)。虚线=A、B 到准线的水平段(焦半径=x+p/2)。弦长 |AB|=x₁+x₂+p 与「直接算距离」结果一致。k→竖直时得通径 2p=4(最短焦点弦)。
斜率固定的一族弦(灰),中点(蓝)在绿线上;每条弦的中垂线(紫)随弦平移,却始终交 x 轴于同一定点(红点)。这是「中垂线过定点」题的几何直觉:先点差法定中点线,中垂线交轴即得定点。
触发信号:「直线交椭圆/抛物线于 A、B 两点，求 |AB|」，给了直线方程或斜率与定点。
标准动作:直线代入曲线消元 → 一元二次 → 验 Δ>0 → 韦达 x₁+x₂、x₁x₂ → |AB|=√(1+k²)·√((x₁+x₂)²−4x₁x₂)。
示例(带解):直线 y=x+1 交椭圆 x²/2+y²=1。代入:x²/2+(x+1)²=1 → x²+2(x+1)²=2 → 3x²+4x=0 → x₁+x₂=−4/3，x₁x₂=0。|AB|=√(1+1²)·√((−4/3)²−0)=√2·(4/3)=4√2/3。
陷阱:忘验 Δ>0;√(1+k²) 与 |x₁−x₂| 配错(用 y 时应换 √(1+1/k²));竖直弦不能套 y=kx+m。
触发信号:「弦 AB 的中点是 M(x₀,y₀)，求弦所在直线方程/斜率」，给了明确中点坐标。
标准动作:A、B 代入曲线方程相减(点差法) → k=−(b²/a²)·(x₀/y₀)(椭圆) → 写出直线 y−y₀=k(x−x₀) → 回验 Δ>0。
示例(带解):椭圆 x²/16+y²/4=1，弦中点 M(2,1)。点差法:k_AB=−(b²/a²)(x_M/y_M)=−(4/16)(2/1)=−1/4·2=−1/2。弦所在直线 y−1=−½(x−2)，即 x+2y−4=0。
陷阱:点差法后忘回验中点在椭圆内(Δ>0);把 −b²/a² 的 a、b 记反;y_M=0 时斜率不存在要单独讨论。
触发信号:「斜率为 k 的一族平行弦，求它们中点的轨迹」，或「过某点作弦求中点轨迹」。
标准动作:设中点 M(x,y)，用点差法 k=−(b²/a²)(x/y) → 代入已知 k → 整理出 x、y 关系(平行弦得过中心直线 y=−(b²/(a²k))x)，注意限定在椭圆内。
示例(带解):椭圆 x²/4+y²=1，斜率 k=1 的平行弦中点轨迹。由 k_AB·k_OM=−b²/a²：1·(y/x)=−1/4 → y=−x/4(在椭圆内部一段)。
陷阱:漏掉「椭圆内部」的范围限制;把 k_OM 写成 x/y(应为 y/x);中心不在原点时先平移坐标。
触发信号:「弦 AB 的垂直平分线过定点」「求 x 轴上定点使 |PA|=|PB|」，含「中垂线/等距」。
标准动作:点差法得中点 M 与 k_AB → 中垂线 y−y_M=−(1/k)(x−x_M) → 令 y=0 求 x 截距，或消去参数证其为常数(定点)。
示例(带解):抛物线 y²=4x 上斜率为 k 的弦 AB，中点 M(x₀,y₀) 满足 k=2/y₀(点差)。中垂线交 x 轴:x=x₀+y₀/k·... 化简后 x 截距与 k 无关，得固定定点(可证为(x₀+2,0)类常数)——说明中垂线过 x 轴定点。
陷阱:中垂线斜率是 −1/k 不是 k;定点常在对称轴(x 轴)上,先设定点在轴上简化;别忘 Δ>0 保证弦存在。
触发信号:「过焦点的弦 AB，求 |AB|」「求最短焦点弦/通径」，弦明确过焦点。
标准动作:抛物线优先 |AB|=x₁+x₂+p(焦半径=x+p/2);椭圆用 |AB|=2a−e(x₁+x₂)或直接韦达+弦长公式;最短焦点弦=通径 2b²/a(椭圆)、2p(抛物线)。
示例(带解):抛物线 y²=4x(p=2)，过焦点 F(1,0) 斜率 1 的弦。y=x−1 代入 y²=4x：(x−1)²=4x → x²−6x+1=0 → x₁+x₂=6。|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8。
陷阱:抛物线焦点弦别勾距离硬算,用 x₁+x₂+p;分清 2p 与 p;椭圆焦半径 a±ex 的符号看左右焦。
① 点差法求出斜率后必须回验 Δ>0(中点在曲线内部,弦才真存在)。中点在椭圆外则无解。
② 斜率不存在(竖直弦)要单独讨论:直线 x=x₀,不能套 y=kx+m;点差法里 y_M=0 时 k 不存在。
③ 中点必须在曲线内部。判定椭圆内:x₀²/a²+y₀²/b²<1。这是点差法有解的前提。
④ 弦长公式配对别错:√(1+k²) 配 |x₁−x₂|;用 y 的韦达时应换 √(1+1/k²) 配 |y₁−y₂|。x 还是 y,看你消掉了谁。
⑤ 椭圆 k_AB·k_OM=−b²/a²,双曲线是+b²/a²,符号别抄反。
⑥ (x₁+x₂)²−4x₁x₂ 才是 (x₁−x₂)²,别写成 (x₁+x₂)²−2x₁x₂。
⑦ 焦点弦优先用焦半径公式(抛物线 x₁+x₂+p),别死勾两点距离。
⑧ 中点轨迹只取曲线内部那一段,不是整条直线。
⑨ 中心不在原点(如 (x−1)²/a²+…)时,点差法结论里的 x_M/y_M 要用相对中心的坐标,先平移。
① 点差法的本质是「对差商取隐函数导数」: 两式相减除以 (x₁−x₂),得到的正是曲线在中点附近的平均斜率≈切线斜率的隐微分。所以 k_AB·k_OM=−b²/a² 其实等价于「椭圆在 M 处的隐函数导数 y′=−(b²x)/(a²y)」。理解这一层,你会发现点差法、切线、极线三者同源。
② 「弦长选 x 还是选 y」的判据: 直线越接近竖直(k 大),用 x 作韦达数值不稳,改用 x=my+t 的形式(以 y 为主元)联立,弦长写成 √(1+m²)·|y₁−y₂|。凡是过 x 轴上定点、可能竖直的弦,一律设 x=my+t,一次性覆盖竖直情形,免去分类讨论——这是竞赛与压轴题的标准手法。
③ 中点弦与「极点极线」互为表里: 以 M 为中点的弦所在直线,就是把椭圆方程中 x²→x·x_M、y²→y·y_M「减半代换」得到的中点弦方程:x·x_M/a²+y·y_M/b²=x_M²/a²+y_M²/b²。记住这个「代半」公式,中点弦方程一步写出,不必点差。
④ 平行弦中点共线 = 仿射不变性: 椭圆是圆的仿射像,圆里「平行弦中点在过心的直径上」经仿射变换仍成立→椭圆平行弦中点共线且过中心。用仿射眼光看,很多椭圆结论都能从圆「搬运」过来,秒懂 k_AB·k_OM 为定值的根源。
⑤ 焦点弦的统一武器是焦准定义: 圆锥曲线上任一点到焦点距离=离心率×到准线距离(r=e·d)。抛物线 e=1 给出 |AB|=x₁+x₂+p;椭圆 e<1 给出 r=a−ex。凡「焦点弦、焦半径、焦点三角形」题,回到 r=e·d 这条定义,比任何公式都稳。
thebest2dan · 数学攻坚包 · 配套:圆锥曲线定义与离心率、直线与圆锥曲线位置关系