这一块的核心不是公式,而是「怎么把一件复杂的事,拆成一步步或一类类去数」。会拆,题就做完了一半。这一页把两个计数原理讲成人话,再用动画让你「看见」排列与组合的区别、捆绑插空的动作、杨辉三角的规律,以及怎么从通项里精确抠出你要的那一项。
这是全部计数题的地基。判断题目该用「加」还是「乘」,只看一个问题:完成这件事,是分成几个必经的步骤,还是分成几个独立的类别?下面的树状图直接把两者摆在一起对比。
分步:走完一条路要经过两步,方法数 = m × n(乘)。分类:两类互不相干,任选一类即完成,方法数 = m + n(加)。
从 n 个不同元素里取出 m 个:排要顺序就是排列 A,只管选到谁就是组合 C。同样取 2 个,排列把「甲乙」和「乙甲」当两种,组合当同一种——下面的动画把每一种取法都枚举出来给你看。
每一行是一种取法。排列里顺序不同算不同(甲乙 ≠ 乙甲);组合里只要选到的元素相同就是同一种。
① 对称性: C(n,m) = C(n, n−m) 选出 m 个,等价于「丢掉 n−m 个」。所以 C(10,7) = C(10,3),挑小的算。
② 递推(帕斯卡): C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m−1) 「新来一个元素:不选它 → C(n,m);选它 → 再从剩下选 m−1 个 = C(n,m−1)」。这正是杨辉三角每个数 = 上方两数之和。
③ 边界: C(n,0) = C(n,n) = 1,C(n,1) = n。
高考的排列组合,九成靠这几套固定手法。先认清题目的信号,再套对应的动作。下面先给出方法表,再用动画演示最常考的「捆绑」与「插空」。
| 方法 | 用在什么题 | 核心动作 |
|---|---|---|
| 捆绑法 | 某几个元素必须相邻 | 把相邻元素捆成一个整体先排,再乘上内部的排列 A |
| 插空法 | 某几个元素互不相邻 | 先排其余元素,再把要求不相邻的元素插进空档 |
| 优先法 | 有特殊元素/特殊位置限制 | 让受限的元素或位置先排,再排其余 |
| 除法定序 | 某几个元素顺序固定(如从高到矮) | 先全排,再除以这几个元素的全排列 A(k,k) |
| 分组分配 | 把元素分成若干组再分给对象 | 先分组(有均匀组要除以组数阶乘)再分配 |
| 隔板法 | 相同元素分给几个对象,每人至少 1 个 | n 个球 m 组 → 在 n−1 个空里插 m−1 块板 = C(n−1, m−1) |
| 间接法 | 「至多/至少」正面分类太多 | 总数 − 不符合的(补集),一步到位 |
4 人排队(甲乙丙丁),对甲、乙分别提「相邻」或「不相邻」的要求,一步步看方法数怎么算出来。
优先法: 5 人排一排,甲不站两端。先排甲(只能站中间 3 个位置之一)=3,再排其余 4 人 A(4,4)=24 → 3×24 = 72。
除法定序: 5 人排队,其中甲乙丙三人身高须从左到右递减。全排 A(5,5)=120,三人顺序被固定(120 种排法里三人只有 1 种合规顺序)→ 120 / A(3,3) = 120/6 = 20。
分组分配: 6 本不同的书平均分给 3 人,每人 2 本 → C(6,2)·C(4,2)·C(2,2) = 15·6·1 = 90。若只是「平均分成 3 堆」(堆无区别),再除以 A(3,3)=6 → 15。
隔板法: 10 个相同的名额分给 4 个班,每班至少 1 个 → 10 个球 9 个空插 3 块板 = C(9,3) = 84。
间接法(至多至少): 从 5 男 4 女选 4 人,至少 1 女 → 总 C(9,4)=126 减「全男」C(5,4)=5 → 121。
把 (a+b)ⁿ 硬乘开会累死;二项式定理直接给出每一项的样子。展开后共有 n+1 项,第 k+1 项的系数正好是组合数 C(n,k)。
把 C(n,k) 按行摆好,就是杨辉三角。每一行是 (a+b)ⁿ 的全部二项式系数;每个数等于它上方两数之和(正是递推性质 C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m−1))。点任意一个数看它对应的 C(n,k)。
第 n 行(从 0 数)的数就是 C(n,0),C(n,1),···,C(n,n)。整行之和 = 2ⁿ;左右对称 C(n,k)=C(n,n−k)。
① 对称: C(n,k) = C(n, n−k),展开式首尾等距的两项二项式系数相等。
② 全部之和 = 2ⁿ: C(n,0)+C(n,1)+···+C(n,n) = 2ⁿ(在 (a+b)ⁿ 里令 a=b=1)。
③ 奇偶项系数和相等 = 2ⁿ⁻¹: 令 a=1,b=−1 得 ∑(−1)ᵏC(n,k)=0,即奇数项二项式系数之和 = 偶数项之和 = 2ⁿ⁻¹。
④ 最大项: n 为偶数时,中间一项 C(n, n/2) 最大;n 为奇数时,中间两项 C(n,(n−1)/2)=C(n,(n+1)/2) 并列最大。
求「含 x³ 的项」或「常数项」的通用武器就是通项:写出 T(k+1),把 x 的总次数整理成关于 k 的一次式,令它等于目标次数,解出 k,回代即得。下面的工具帮你把这一步走一遍。
以 (x² − 1/x)ⁿ 为例。通项 T(k+1)=C(n,k)·(x²)ⁿ⁻ᵏ·(−1/x)ᵏ,x 的次数 = 2(n−k)−k = 2n−3k。拖动目标次数,看是否存在整数 k。
以 (2x−1)⁴ 为例。切换代入值,看等式两边各算出什么,以及它对应「哪一组系数的和」。
| 题型 | 触发信号 | 标准动作 |
|---|---|---|
| 分类/分步计数 | 「有多少种…」「几种方法」 | 先判分类(加)还是分步(乘),复杂题两者混用:大类相加、每类内分步相乘 |
| 相邻/不相邻 | 「必须相邻」/「互不相邻」 | 相邻→捆绑法(乘内部 A);不相邻→插空法(先排其余再插空) |
| 分组分配 | 「分成几组/分给几个对象」 | 逐组用 C 相乘;有均匀组要除以均匀组数的阶乘 |
| 求通项/特定项 | 「第 k 项」「含 x³ 的项」「常数项」 | 写 T(k+1),整理 x 的次数=目标,解整数 k,回代 |
| 求系数之和 | 「a₀+a₁+···」「奇/偶次项系数和」 | 赋值法:x=1 全和、x=−1 交替、x=0 常数,联立分离奇偶 |
⚠ ① 排列 vs 组合(有序/无序):选完还要排顺序、排名次、排职务 → 用 A;只是选出一个集合、谁和谁一组 → 用 C。关键问自己:换个顺序算不算新的一种?
⚠ ② 相邻用捆绑,不相邻用插空——别用反。捆绑后一定要乘上内部排列 A;插空是先排没限制的,再往空里插要求不相邻的。
⚠ ③ 二项式系数 ≠ 项的系数。二项式系数只是 C(n,k);项的系数要把 a、b 里的常数与符号(如 2ᵏ、(−1)ᵏ)全乘进去。「二项式系数最大」看 C(n,k),「系数最大」要连常数一起比。
⚠ ④ 赋值取值别取错:求全体系数和用 x=1;求交替和(奇偶分离)用 x=−1;求常数项 a₀ 用 x=0。张冠李戴直接错。
⚠ ⑤ 通项里 k 从 0 起,不是从 1。「第 r 项」对应 k=r−1;第 1 项 k=0(即 aⁿ 那一项)。项号与 k 一定要换算。
⚠ ⑥ 分组「均匀组」要除阶乘:把元素平均分成若干无区别的堆,算完 C 连乘后要除以均匀组数的全排列;若分给有区别的对象则不除。
⚠ ⑦ 「至多/至少」慎用正面枚举:分类太多易漏,优先想间接法(总数 − 补集)。但要保证补集算得完整、不重不漏。
① 计数的元问题永远是「怎么拆」: 拿到题先问两句——完成它是「分步」还是「分类」?元素/位置有没有「特殊」的?把这两点想透,再决定捆绑、插空、优先、间接哪套手法。手法是果,拆分是因。
② 正难则反(补集思想)是通用杀器: 凡「至少」「至多」「不都」「至少有一个相同」这类,正面分类往往层层叠叠;换成「总数 − 反面」常常一步到位。做完再验补集是否穷尽。
③ 隔板法的本质是「相同元素的非负整数解」: x₁+x₂+···+xₘ=n 且每个 ≥1 的解数 = C(n−1,m−1);若允许 =0,先令 yᵢ=xᵢ+1 转化,得 C(n+m−1,m−1)。很多「分名额、分糖果」题都是它的化装。
④ 二项式系数与项系数的最大项分开求: 二项式系数最大项由 n 奇偶直接判(中间项);而项的系数最大项要解不等式 T(k+1)/T(k) ≥ 1 找转折点,把常数、符号一并计入,别只看 C(n,k)。
⑤ 多项式与组合恒等式互证: C(n,0)+C(n,1)+···=2ⁿ、∑k·C(n,k)=n·2ⁿ⁻¹、∑C(m,k)C(n,p−k)=C(m+n,p)(范德蒙德)等,都能用「赋值 / 求导 / 组合意义」三条路证明。看到系数和、加权和,先想能否赋值或求导。
thebest2dan · 数学计数与二项式攻坚包 · 下一块:概率统计 / 立体几何向量法