分期付款、银行贷款、复利存款、增长率、资源开采、细胞分裂……这些看似五花八门的应用题，本质上只有三种数列模型：每期加固定量的等差、每期乘固定倍的等比、以及本期由上期决定的递推。这一页教你把「现实问题」翻译成数列，再用公式一步算穿。
识别信号: 每一期比上一期多(或少)一个固定的量 d——注意是「加」不是「乘」。产量每年增加 500 吨、堆放钢管每层少 1 根、等差还款每期还固定本金、直线折旧每年减固定额，都是等差。
| 现实说法 | 数列翻译 |
|---|---|
| 首期(第1年)的量 | 首项 a₁ |
| 每期固定增/减的量 | 公差 d(增为正、减为负) |
| 第 n 期的量 | aₙ = a₁+(n−1)d |
| 前 n 期总量(累计) | Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 |
⚠ 每期「加固定量」才是等差;若是「按固定百分比增长」那是等比，别混。第 n 期用 (n−1)d 不是 n·d——首项不加 d。
蓝点=等差(每期加 d，连成直线);红点=等比(每期乘 q，连成上翘曲线)。开始等差可能领先，但等比迟早反超——这就是「复利滚雪球」和「直线增长」的本质区别。
识别信号: 每一期比上一期乘一个固定倍数 q——即「按百分比增长/衰减」。复利存款(每年×(1+r))、人口增长率、细胞每小时分裂一次(×2)、设备逐年折旧(×(1−p))、放射性衰减，全是等比。
这就是等比数列的通项:首项 P·(1+r)、公比 (1+r)。增长率问题同理:量按 p% 增长 n 期后 = 原量×(1+p%)ⁿ;衰减则用 (1−p%)ⁿ。
⚠ 复利 ×(1+r)ⁿ 与单利(每期只按本金算，本利和=P(1+nr))完全不同!复利利滚利是等比，单利是等差。别把折旧的 (1−p) 写成 (1+p)。
每根柱=某年年末本利和。深色底=本金，亮色顶=累计利息。复利下利息本身也生利息，柱子越往后长得越快;虚线是单利(利息不生利息，直线增长)。差距就是「利滚利」的威力。
很多还款/存取问题既加又乘:欠款先按利息乘 (1+r)，再减去月供。这种「说不清纯等差还是纯等比」的情形，就写递推关系。
建立递推三步: ① 设 aₙ 为「第 n 期末的量」(欠款、存款余额、库存…);② 想清楚从第 n−1 期末到第 n 期末发生了什么(滚利?加投入?取出?);③ 把「上期量怎么变成本期量」写成等式 aₙ=f(aₙ₋₁)。
贷款 A 元，月利率 r，每月还 x 元，第 n 月末欠款 aₙ 满足 aₙ=(1+r)aₙ₋₁−x。设余款还清(a_N=0)，可解出每月还款额:
⚠ 递推里 (1+r) 乘的是「上一期的全部余额」(利滚利)，不是只乘本金。写等式时先滚利再减还款，顺序别反。
柱高=每期末欠款余额。每期:先滚利 ×(1+r)(欠款略涨)，再减月供 x(欠款下降)。前期利息多、还本少;越到后期本金占比越大。柱子降到 0 就是还清那一期。
「某量以年增长率 p% 增长，n 年后是原来的多少」→ 直接 原量×(1+p%)ⁿ。衰减(折旧、消耗)用 (1−p%)ⁿ。这是等比通项的应用。
这类问题把 n 放在指数上，解 n 有两条路:
例: 存款年利率 6%，本金翻倍需几年? 解 (1.06)ⁿ ≥ 2 → n ≥ lg2/lg1.06 ≈ 0.301/0.0253 ≈ 11.9 → n=12 年(向上取整，因为要「达到」)。
⚠ 求「至少几年」结果一般向上取整(不足一期也算一期);求「最多几年不超过」则向下取整。取对数时 lg q 为正(q>1)不等号方向不变。
曲线=(1+p)ⁿ 逐期爬升，红色水平线=目标倍数。第一个穿过红线的点就是达标期 n。旁边给出 n≈lg(目标)/lg(1+p) 的取对数估算，与实际逐项结果对照。
很多题给两种方案(两种付款方式、两种存法、两种奖金)让你选优。套路:各自建模求总额，再作差比较。
| 方案A(常见) | 方案B(常见) |
|---|---|
| 每期固定增(等差) | 每期按比例增(等比) |
| 一次性付清 / 单利 | 分期付款 / 复利 |
标准动作: ① 分别写出两方案第 n 期或总和 Sₙ;② 作差 f(n)=Sₐ−S_b;③ 讨论 f(n) 的符号(常需分 n 的范围)得出「n 小时选谁、n 大时选谁」。等差 vs 等比往往有交叉点:短期等差划算，长期等比反超。
⚠ 比较要用同一口径(都算总支出、或都算到同一时点的现值)。别拿「月供」和「总额」直接比。看清是「求最省钱」还是「求收益最大」。
两条累计曲线:蓝=等差方案累计和(直线加速)，橙=等比方案累计和(指数加速)。找它们的交叉点——交叉前一个方案累计更高，交叉后另一个反超。选优就看你要比到第几期。
「每年年初存 P 元，年利率 r，n 年后共取回多少」——每笔钱滚利年数不同，是等比求和问题。
拆解: 第1年初存的 P 滚 n 年 = P(1+r)ⁿ;第2年初存的滚 n−1 年 = P(1+r)ⁿ⁻¹;……第 n 年初存的滚 1 年 = P(1+r)。这 n 项恰好是等比数列(首项 P(1+r)、公比 (1+r))，用求和公式一算即得上式。
⚠ 关键是数清每笔钱各滚了几年(存得早滚得久)。年初存 vs 年末存差一个 (1+r);别把 n 笔钱都当成滚同样年数。
每根柱=一期的固定月供(总高相同)。下段(蓝)=还的利息，上段(黄)=还的本金。等额本息下:早期利息多、还本少;越往后利息越少、还本越多。利率越高，蓝色(利息)占比越大。
触发信号:「每年增加/减少固定的量」「每层少几根」「逐年多产 N 吨」，量的变化是加减不是倍数。
标准动作:设首项 a₁、公差 d，写 aₙ=a₁+(n−1)d;求累计用 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2。
示例(带建模+求解):某厂首年产量 1000 吨，以后每年多产 200 吨。第 8 年产量 a₈=1000+7×200=2400 吨。前 8 年总产量 S₈=8×(1000+2400)/2=13600 吨。
陷阱:第 n 项误用 n·d(应是 (n−1)d);把「按百分比增长」当等差。
触发信号:「年利率」「增长率 p%」「每年是上年的几倍」「翻倍/减半」「折旧率」，变化是乘倍数。
标准动作:公比 q=1+r(或 1+p%、1−p%)，本利和 A=P(1+r)ⁿ;通项 aₙ=a₁qⁿ⁻¹。
示例(带建模+求解):存本金 2 万，年利率 5% 复利，3 年后本利和 A=2×(1.05)³=2×1.157625=2.31525 万元。若是单利:2×(1+3×0.05)=2.30 万，比复利略少。
陷阱:复利写成单利;n 用错(存 3 年就是指数 3);折旧用 (1+p) 而非 (1−p)。
触发信号:「贷款 A 元每月还 x」「等额本息」「分 N 期还清」，要求月供或总利息。
标准动作:设第 n 月末欠款 aₙ=(1+r)aₙ₋₁−x;令 a_N=0 解出 x=A·r(1+r)ᴺ/[(1+r)ᴺ−1]。
示例(带建模+求解):贷 10 万，月利率 1%，分 12 期还清。x=100000×0.01×1.01¹²/(1.01¹²−1)。1.01¹²≈1.1268，x≈1000×1.1268/0.1268≈8885 元/月。总还 ≈12×8885=106620 元，利息约 6620 元。
陷阱:滚利只乘本金(应乘全部余额);顺序反(应先滚利再减还款)。
触发信号:「本期与上期有关系」「既滚利又存取」「今年数量由去年数量决定」，纯等差纯等比都套不上。
标准动作:设 aₙ 为第 n 期末的量，弄清一期内发生了什么，写 aₙ=p·aₙ₋₁+c;必要时用「构造 aₙ+k 成等比」转化求通项。
示例(带建模+求解):水库第 n 年末蓄水 aₙ=1.2aₙ₋₁−300(万m³)，a₁=1000。第 2 年末 a₂=1.2×1000−300=900;第 3 年 a₃=1.2×900−300=780。设不动点 a=1.2a−300→a=1500，则 aₙ−1500=1.2(aₙ₋₁−1500)，{aₙ−1500} 等比，通项 aₙ=1500−500×1.2ⁿ⁻¹。
陷阱:递推方向写反;不动点法漏掉常数项;把 aₙ 和 aₙ₋₁ 混淆。
触发信号:「几年后超过/达到 M」「多少期后翻倍」「至少存几年」，未知量 n 在指数上。
标准动作:列 a₁qⁿ⁻¹ ≥ M(或 (1+p)ⁿ≥M)，两边取对数解 n，结果按题意取整。
示例(带建模+求解):某城人口年增 3%，何时超过原来 1.5 倍? 解 (1.03)ⁿ≥1.5 → n≥lg1.5/lg1.03=0.1761/0.0128≈13.7 → n=14 年(向上取整)。
陷阱:该向上取整却向下;取对数不等号方向弄反;把 qⁿ⁻¹ 当 qⁿ。
触发信号:给两种付款/存款/奖金方案，问「哪种更省/更赚」「n 为何值时选谁」。
标准动作:各写总额 Sₐ、S_b(一个常等差、一个常等比)，作差 f(n)=Sₐ−S_b，讨论符号分段得结论。
示例(带建模+求解):方案A首月 1000、每月加 500(等差);方案B首月 800、每月×1.2(等比)。做到第几月B总额反超A? 逐月累计求和作差:短期A多(起点高、稳增)，B因指数在约第 6~7 月后总额反超。列 Sₐ(n) 与 S_b(n) 比较即得临界 n。
陷阱:比较口径不一(月供 vs 总额);忘了要分 n 的范围讨论。
① 等差 vs 等比判断:每期「加固定量」=等差(d);每期「乘固定倍/按百分比」=等比(q=1+p%)。这是全章第一分水岭，判错全盘皆输。
② 期数 n 从 0 还是 1 开始:通常首项是第 1 项，第 n 期用 aₙ=a₁+(n−1)d 或 a₁qⁿ⁻¹;而「n 年后」的复利 A=P(1+r)ⁿ 指数是 n(存了 n 期)。分清「第几项」和「第几年后」。
③ 复利 vs 单利:复利 P(1+r)ⁿ(等比、利滚利);单利 P(1+nr)(等差、只按本金)。题目说「利滚利/按复利」才用指数。
④ 递推关系建立:先滚利再减还款，顺序不能反;(1+r) 乘的是全部余额不是本金。
⑤ 折旧/衰减用 (1−p%)ⁿ，别写成 (1+p%)ⁿ;增长才是加。
⑥ 求 n 取整:「至少/超过」向上取整，「最多/不超过」向下取整。取对数时看清 q 与 1 的大小定不等号方向。
⑦ 累计存款要数清每笔钱各滚几年(存早滚久)，别当成都滚同样年数。
⑧ 通项里 qⁿ⁻¹ 不是 qⁿ:首项 a₁ 对应 n=1 时 q⁰=1，别多乘一个 q。
① 一切应用题先问「加还是乘」: 从 aₙ₋₁ 到 aₙ 是 +d 还是 ×q，决定等差还是等比;若又加又乘(×q 再 −x)就是递推 aₙ=q·aₙ₋₁+c。这一句话把整章应用题分成三类，判型比套公式重要一百倍。
② 递推 aₙ=p·aₙ₋₁+c 的「不动点法」通吃: 令 a=pa+c 解出不动点 a*=c/(1−p)，则 {aₙ−a*} 是公比 p 的等比数列，通项 aₙ=a*+(a₁−a*)pⁿ⁻¹。分期还款、水库蓄水、药物代谢……全套这一招，不必每题现推。
③ 复利与单利的差是「利息的利息」: P(1+r)ⁿ 展开 = P(1+nr+C(n,2)r²+…)，比单利 P(1+nr) 多出的高阶项就是利滚利。理解这点，就明白为什么长期、高利率下复利远超单利——差距是指数级的。
④ 求期数=解指数不等式，取对数是唯一硬通货: qⁿ≥M ⇒ n≥lg M/lg q(q>1)。记住 lg2≈0.301、lg3≈0.477 这几个值，考场没计算器也能估。翻倍时间 ≈ lg2/lg(1+r)，利率越高越快(72 法则的严格版)。
⑤ 方案比较的本质是「直线 vs 曲线找交点」: 等差累计是二次函数(抛物线)，等比累计是指数函数。指数终将碾压任何多项式——所以「短期等差划算、长期等比反超」几乎是定律，交叉点位置由起点和增速决定，作差讨论符号即得。
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