← 回攻坚包

数学 · 数列攻坚包

数列求通项公式

数列大题的第一步、也是命根子:先求出通项 aₙ。这一页把「看到什么递推、就用哪套路」讲成人话,再用动画让你「看见」累加、累乘、构造等比是怎么把递推关系拆开的。

🗣️ 一句话: 求通项就是找到 aₙ 关于 n 的表达式(一个只含 n 的公式,代进去能算出第几项)。方法不用背死,关键是对号入座:先看递推关系长什么样,再选对应套路。递推形态 → 方法,是一一对应的。

一、先学会「认形态」:递推识别器

求通项的第一步永远是:这条递推关系是哪一类?选下面的形态,识别器会告诉你该用什么方法、为什么。这是全章最重要的能力——认对形态,方法自然浮现。

诀窍:先看两项之间是「差」还是「比」;差/比是常数就直接公式,随 n 变就累加/累乘;带 +q 常数就构造等比;出现 Sₙ 就作差。

二、核心原理:七大套路

🗣️ 把下面七种当成工具箱。每种都对应一类递推形态。看完识别器再看这里,你会发现它们是「一把钥匙开一把锁」。

① 等差 / 等比 —— 直接套公式

差是常数 d → 等差,aₙ = a₁ + (n−1)d;比是常数 q → 等比,aₙ = a₁·qⁿ⁻¹。这是地基,其它套路最终都想把数列「变回」等差或等比。

② 累加法 —— aₙ₊₁ − aₙ = f(n)

差不是常数、而是随 n 变的 f(n)。把 a₂−a₁, a₃−a₂, …, aₙ−aₙ₋₁ 这 (n−1) 个式子全部相加,中间项两两抵消,只剩 aₙ − a₁ = f(1)+f(2)+…+f(n−1)。

③ 累乘法 —— aₙ₊₁ / aₙ = f(n)

比不是常数、而是随 n 变的 f(n)。把 a₂/a₁, a₃/a₂, …, aₙ/aₙ₋₁ 这 (n−1) 个比全部相乘,连环约分后 aₙ/a₁ = f(1)·f(2)·…·f(n−1)。

④ 由 Sₙ 求 aₙ —— 作差法

关键公式:aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2),而 a₁ = S₁ 要单独求、单独验。若题目给的是「Sₙ 与 aₙ 混在一起的递推」(如 Sₙ=2aₙ−1),先用这公式消掉 Sₙ,变成纯 aₙ 的递推,再对号入座。

⑤ 构造等比 —— aₙ₊₁ = paₙ + q（p≠1）

两边同加一个常数 k,凑成 aₙ₊₁ + k = p(aₙ + k)。于是新数列 {aₙ + k} 是公比 p 的等比数列!其中 k = q/(p−1)(由 k = pk − ... 解出,或用不动点)。

⑥ 构造等比 —— aₙ₊₁ = paₙ + q·pⁿ 型

两边同除 pⁿ⁺¹:aₙ₊₁/pⁿ⁺¹ = aₙ/pⁿ + q/p。令 bₙ = aₙ/pⁿ,则 {bₙ} 变成等差数列(公差 q/p)!先求 bₙ 再乘回 pⁿ。

⑦ 取倒数构造 —— aₙ₊₁ = paₙ/(qaₙ + p)

两边取倒数:1/aₙ₊₁ = (qaₙ+p)/(paₙ) = q/p + (1/aₙ)。令 bₙ = 1/aₙ,则 {bₙ} 是等差(公差 q/p)!求出 bₙ 再取倒数还原。

⚙ 统一视角(拔高):以上 ⑤⑦ 都是「不动点法 / 待定系数法」的特例——找到递推的不动点 x*(满足 x*=f(x*)),再研究 aₙ−x* 或 1/(aₙ−x*)。见第六节。

三、累加法「看得见」:把差叠起来相加

累加法的灵魂是望远镜求和(telescoping):相邻项两两抵消。点播放,看 a₂−a₁、a₃−a₂、… 一层层叠上去,中间全消,只剩 aₙ − a₁。

例:a₁=1,aₙ₊₁=aₙ+2n。差 aₖ₊₁−aₖ=2k,累加得 aₙ−a₁ = 2(1+2+…+(n−1)) = (n−1)n,故 aₙ = n²−n+1。

累加例题(带解): a₁=1,aₙ₊₁ = aₙ + 2n,求 aₙ。
① 写出差:aₖ₊₁ − aₖ = 2k(k=1,2,…,n−1),共 (n−1) 个式子。
② 全部相加(左边望远镜相消):aₙ − a₁ = 2(1+2+…+(n−1)) = 2·(n−1)n/2 = n²−n。
③ aₙ = 1 + n²−n = n²−n+1。验:a₁=1 ✓,a₂=3(=a₁+2)✓,a₃=7(=a₂+4)✓。

四、累乘法「看得见」:比值连乘大约分

累乘法把一串比 a₂/a₁ · a₃/a₂ · … 首尾相接,分子分母连环约掉,只剩 aₙ/a₁。点播放看约分过程。

例:a₁=1,aₙ₊₁/aₙ = (n+1)/n。连乘 (2/1)(3/2)(4/3)…(n/(n−1)) 约分后 = n,故 aₙ/a₁ = n → aₙ = n。

累乘例题(带解): a₁=1,aₙ₊₁ = ((n+1)/n)·aₙ,求 aₙ。
① 写出比:aₖ₊₁/aₖ = (k+1)/k(k=1,…,n−1)。
② 全部相乘:aₙ/a₁ = (2/1)(3/2)(4/3)…(n/(n−1)),连环约分 = n/1 = n。
③ aₙ = a₁·n = n。验:a₁=1,a₂=2,a₃=3 ✓。

五、构造等比「看得见」:两边加常数

最经典的 aₙ₊₁ = 2aₙ + 1。它不是等比(因为有那个 +1),但两边同时加 1 后:aₙ₊₁+1 = 2(aₙ+1),新数列 {aₙ+1} 就是公比 2 的等比!点播放看常数 k 是怎么被「凑」出来的。

a₁=1,aₙ₊₁=2aₙ+1。设 aₙ₊₁+k=2(aₙ+k) → k=1。{aₙ+1} 首项 2、公比 2,故 aₙ+1=2ⁿ → aₙ=2ⁿ−1。

构造例题(带解): a₁=1,aₙ₊₁ = 2aₙ + 1,求 aₙ。
① 设 aₙ₊₁ + k = 2(aₙ + k),展开 aₙ₊₁ = 2aₙ + k,对比原式 k=1(即 k=q/(p−1)=1/(2−1)=1)。
② {aₙ+1} 首项 a₁+1=2,公比 2 → aₙ+1 = 2·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ。
③ aₙ = 2ⁿ − 1。验:a₁=1,a₂=3,a₃=7 ✓。

六、Sₙ ↔ aₙ:作差得 aₙ,n=1 单独验

题目给的是前 n 项和 Sₙ 的关系时,用 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2) 作差,同时 a₁ = S₁ 单独求。下面输入一个 Sₙ,看它自动作差生成 aₙ 并验 n=1。

红条 = Sₙ,蓝条 = aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁。看 n=1 时用作差公式对不对——若 a₁(作差)≠S₁,通项就要分段写。

含 Sₙ 与 aₙ 的递推(带解): Sₙ = 2aₙ − 1,求 aₙ。
① n=1:S₁=a₁=2a₁−1 → a₁=1。
② n≥2:Sₙ₋₁ = 2aₙ₋₁ − 1。相减 Sₙ−Sₙ₋₁ = 2aₙ − 2aₙ₋₁,即 aₙ = 2aₙ − 2aₙ₋₁ → aₙ = 2aₙ₋₁。
③ 故 {aₙ} 公比 2、首项 1 → aₙ = 2ⁿ⁻¹。

七、通项自检:前几项对照表

求完通项后,务必用它代 n=1,2,3 算前几项,看是否和递推吻合。选一个模型、填参数,自动列出 a₁…a₆ 并对照递推验证。

模型 p = q = a₁ =

左列由递推逐项算出,右列由求得的通项公式算出,两列相等 = 通项正确。

八、尖子生拔高:不动点法统一构造

对 aₙ₊₁ = paₙ + q,画两条线 y = px + q 与 y = x,交点横坐标 x* 就是不动点(满足 x*=px*+q)。构造用的常数其实就是 −x*——{aₙ − x*} 才是等比。拖滑块看不动点位置。

p = p q = q

紫线 y=px+q,黑线 y=x,红点是不动点 x*=q/(1−p)(需 p≠1)。构造:aₙ₊₁−x* = p(aₙ−x*),{aₙ−x*} 等比、公比 p。

不动点统一口诀: 一次递推 aₙ₊₁=paₙ+q(p≠1)→ 解 x*=px*+q 得 x*,则 aₙ = x* + (a₁−x*)·pⁿ⁻¹。分式递推 aₙ₊₁=(paₙ+b)/(caₙ+d)→ 解不动点方程 x=(px+b)/(cx+d),两个不动点则 (aₙ−x₁)/(aₙ−x₂) 成等比,一个不动点则 1/(aₙ−x*) 成等差。

九、全题型地图(触发信号 → 标准动作)

题型 / 形态	触发信号	标准动作
等差/等比直接	差为常数 / 比为常数	套 aₙ=a₁+(n−1)d 或 aₙ=a₁qⁿ⁻¹
累加法	aₙ₊₁−aₙ=f(n),差随 n 变	逐差相加,望远镜相消,得 aₙ−a₁=Σf
累乘法	aₙ₊₁/aₙ=f(n),比随 n 变	逐比相乘,连环约分,得 aₙ/a₁=Πf
Sₙ 求 aₙ	题目给 Sₙ 或含 Sₙ 递推	aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁(n≥2),a₁=S₁ 单独验
构造等比(+q)	aₙ₊₁=paₙ+q,p≠1	加常数 k=q/(p−1),{aₙ+k} 等比
构造(+q·pⁿ)	aₙ₊₁=paₙ+q·pⁿ	两边÷pⁿ⁺¹,令 bₙ=aₙ/pⁿ 变等差
取倒数	aₙ₊₁=paₙ/(qaₙ+p) 分式	取倒数,令 bₙ=1/aₙ 变等差
不动点(拔高)	任意一次/分式递推	解 x=f(x),研究 aₙ−x*

形态识别 → 方法(带解速览)

认递推形态选方法:
• 看到 aₙ₊₁ = aₙ + 2ⁿ → 差随 n 变 → 累加法,aₙ−a₁=Σ2ᵏ。
• 看到 aₙ₊₁ = (n/(n+2))aₙ → 比随 n 变 → 累乘法。
• 看到 aₙ₊₁ = 3aₙ − 4 → 有常数项 → 构造等比,k=−4/(3−1)=−2,{aₙ−2} 等比。
• 看到 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3·2ⁿ → +q·pⁿ 型 → 两边÷2ⁿ⁺¹ 变等差。
• 看到 Sₙ + aₙ = 1 → 含 Sₙ → 作差消 Sₙ。

十、易错集

⚠ ① 用 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 时那个 (n≥2) 千万别丢!这式子 n=1 时不成立(没有 S₀)。求完必须单独算 a₁=S₁ 并检验:若 a₁ 恰好符合通项就合并写,否则分段写 aₙ = { a₁ ; 通项(n≥2) }。

⚠ ② 累加/累乘的项数要数清:从 a₂−a₁ 到 aₙ−aₙ₋₁ 是 (n−1) 个式子,不是 n 个。求和/求积上限写成 n−1,别写 n。

⚠ ③ 累加得到的通项默认 n≥2(因用了 n−1 个式子),要回代 n=1 检验是否也成立,能成立才可写「对所有 n」。

⚠ ④ 构造等比时常数 k 不要背错方向:由 aₙ₊₁+k=p(aₙ+k) 展开对比,k=q/(p−1)。带负号的题(如 aₙ₊₁=2aₙ−3)要 k=−3/(2−1)=−3,构造 {aₙ−3}。算错正负全盘皆错。

⚠ ⑤ +q·pⁿ 型别硬套加常数!必须÷pⁿ⁺¹ 转等差;若误当 aₙ₊₁=paₙ+常数处理会算不出来。

⚠ ⑥ 累乘时若某个比里出现 (k−1) 会等于 0(如 f(k)含 (k−1) 在分母),要检查是否漏掉 n=1、n=2 的特殊情形。

十一、自测(先想,再点开)

thebest2dan · 数列攻坚包 · 下一块:数列求和(错位相减 / 裂项)