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数学 · 压轴攻坚包
导数应用 / 排列组合
压轴大题最爱考的两大块。导数管「函数怎么变」,排列组合管「方案怎么数」。这一页把原理讲成人话,再用动画让你「看见」导数和计数。
🗣️ 导数一句话: 导数 f′(x) 就是函数在每一点的「瞬时坡度」。坡度为正 → 上坡(增);为负 → 下坡(减);坡度为零 → 山顶或山谷(极值)。
🗣️ 排列组合一句话: 分类就「加」(几种情况各算各的),分步就「乘」(一步接一步才完成)。剩下的捆绑、插空、隔板,都是把「难数的」变成「好数的」。
一、导数的几何意义:导数就是切线斜率
把一条曲线想成山路。你站在 x 处,脚下那一瞬间的「陡不陡」,就是导数 f′(x)。拖动滑块,看切线如何随你移动而倾斜——这就是「瞬时变化率」。
二、用导数求单调区间与极值
🗣️ 套路: 求 f′(x) → 解 f′(x)=0 找「临界点」→ 在数轴上画 f′ 的正负号 → 正号区间是增、负号区间是减 → 由「负转正」是极小、「正转负」是极大。
例题(带解)
求 f(x)=x³−3x 的单调区间与极值。
① f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)。
② f′(x)=0 → x=−1 或 x=1。
③ 符号:x<−1 时 f′>0(增);−1<x<1 时 f′<0(减);x>1 时 f′>0(增)。
④ 结论:增区间 (−∞,−1) 和 (1,+∞),减区间 (−1,1);x=−1 取极大值 f(−1)=2,x=1 取极小值 f(1)=−2。
三、含参分类讨论(压轴核心技能)
题里带个参数 a,导数 f′(x) 的正负就不固定了。滑动参数 a,看函数图像和单调性如何「变脸」——这正是分类讨论的本质:a 取不同范围,图就不同。
分类模板(以 f′(x)=3x²−a 为例):
• 当 a≤0:f′(x)=3x²−a≥0 恒成立 → f(x) 在 R 上单调递增,无极值。
• 当 a>0:f′(x)=0 → x=±√(a/3),两侧变号 → x=−√(a/3) 极大,x=+√(a/3) 极小。
陷阱:讨论的「分界点」一定来自 f′ 能否变号 / 判别式 / 二次项系数正负。
四、零点 / 方程根个数(数形结合)
「方程 f(x)=k 有几个根?」=「曲线 y=f(x) 与水平线 y=k 有几个交点?」。上下拖动参数 k,数交点个数随 k 变化的临界值——临界值就是极大值、极小值。
五、不等式恒成立 / 能成立(分离参数)
🗣️ 口诀: 恒成立 = 对「所有 x」都满足 → 取最不利的那个,即 a≥f(x)最大值(若要 a≥f(x))或 a≤f(x)最小值(若要 a≤f(x))。能成立(存在)= 只要「有一个 x」满足 → a≥f(x)最小值 或 a≤f(x)最大值。
例: 对任意 x>0,a ≥ (lnx)/x 恒成立,求 a 范围。
令 g(x)=(lnx)/x,g′(x)=(1−lnx)/x²,令 g′=0 → x=e,g(e)=1/e 是最大值。
恒成立要 a ≥ g(x) 的最大值 → a ≥ 1/e。
分离参数四步: ① 把 a 单独移到一边;② 另一边记为 g(x);③ 用导数求 g(x) 的最值;④ 恒成立看最值方向取等。注意定义域 + 端点能否取到。
六、不等式证明与放缩
🗣️ 核心: 证 A(x)>B(x),就令 h(x)=A−B,求导证明 h(x)>0(常用:证 h 在某点取最小值 0)。常备「切线放缩」:lnx ≤ x−1,eˣ ≥ x+1(都在切点处相切)。
经典放缩:曲线 y=lnx 永远不超过它在 x=1 处的切线 y=x−1。
蓝线 y=x−1 是 y=lnx 在 (1,0) 处的切线,且 lnx≤x−1 恒成立(等号仅 x=1)。这是放缩的「母不等式」。
例(切线放缩): 证明 当 x∈R 时 eˣ ≥ x+1。
令 h(x)=eˣ−x−1,h′(x)=eˣ−1。x<0 时 h′<0(减),x>0 时 h′>0(增),故 x=0 是最小值点,h(0)=0 → h(x)≥0 → eˣ≥x+1。
七、双变量 / 双极值之比 t=x₂/x₁ 换元法
压轴最难的一步:题里出现两个未知点 x₁、x₂(常是两个极值点或两个零点)。技巧是设 t=x₂/x₁,把双变量问题压成一个变量 t 的函数,再用导数。
换元法步骤: ① 由两点满足同一方程(如 f′(x₁)=f′(x₂)=0 或 f(x₁)=f(x₂))列出两式;② 两式相减/相除,凑出含 x₂/x₁ 的结构;③ 令 t=x₂/x₁(t>1),把目标式写成 g(t);④ 对 g(t) 求导,在 t>1 上判单调、求范围。
八、排列组合:两条根本大法
🗣️ 分类加法(or): 完成一件事有几「类」独立办法,每类能单独搞定 → 各类相加。
🗣️ 分步乘法(and): 完成一件事要分几「步」,步步都做完才算成 → 各步相乘。
判断标准:这一项能不能「单独完成整件事」?能→分类(加);不能、要接着做→分步(乘)。
排列 A 与组合 C: 排列 = 选出来还讲顺序(谁先谁后不同);组合 = 选出来不讲顺序(只看选了谁)。A(n,m)=n!/(n−m)!;C(n,m)=n!/[m!(n−m)!]。口诀:排序用 A,选组用 C。
九、三大经典法(动画图示)
① 捆绑法 —— 「相邻必在一起」
几个元素必须相邻 → 先用绳子把它们「捆」成一个整体参与排列,再松开绳子,内部自己再排一次。点播放看「捆 → 排 → 内部排」。
甲乙必须相邻,与另外3人排队:把甲乙捆为1个整体,共4个整体排 A(4,4)=24,内部甲乙再排 A(2,2)=2 → 24×2=48 种。
② 插空法 —— 「互不相邻」
几个元素必须互不相邻 → 先排好其它元素,在它们之间(含两端)形成的「空」里,把这些元素一个一个插进去。点播放看「先排 → 标空 → 插入」。
3男2女排队、女生互不相邻:先排3男 A(3,3)=6,形成4个空,选2空插2女 A(4,2)=12 → 6×12=72 种。
③ 隔板法 —— 「相同元素分给不同对象,每份至少1个」
把 n 个完全相同的球分给 k 个人、每人至少 1 个 → 在 n 个球的 (n−1) 个缝里插 (k−1) 块隔板。拖动隔板试试,看分配方案怎么变。
10 个相同的球分给 3 个人、每人至少 1 个:在 9 个缝里选 2 个插隔板 → C(9,2)=36 种。拖动两块红色隔板感受每种分法。
十、全题型地图(排列组合)
| 题型 / 变式 | 触发信号 | 标准动作 |
|---|
| 分类加法 | 「或」「分几种情况」 | 各类独立算后相加,注意不重不漏 |
| 分步乘法 | 「先…再…」「依次」 | 每步方法数相乘 |
| 捆绑法 | 「相邻」「在一起」 | 捆为整体排,再乘内部排列 |
| 插空法 | 「不相邻」「互不相邻」 | 先排其余,选空插入(用 A) |
| 隔板法 | 「相同元素」「每份至少1个」 | C(n−1,k−1);可空则先各借1个 |
| 分组分配 | 「分成几组」「分给几人」 | 平均分组要除以组数阶乘(去重复) |
| 错位排列 | 「都不在原位」「不对号」 | D₃=2,D₄=9,D₅=44(背下来) |
| 涂色问题 | 「相邻不同色」「地图染色」 | 分步上色,逐区域考虑可选颜色数 |
| 相同元素分配 | 「相同的球/名额」 | 可空用隔板变形(先补球再分) |
分组分配(易错重点,带解)
把 6 本不同的书分给甲乙丙三人,每人 2 本,几种?
给指定的人、每人2本:C(6,2)·C(4,2)·C(2,2)=15·6·1=90 种。
对比: 若只是「平均分成3堆」(堆不指定给谁),要再 ÷3!(去掉堆与堆的顺序)→ 90/6=15 种。⚠ 均分成 n 堆必须 ÷n!;分给指定的 n 个人则不除。
错位排列 / 涂色 / 相同元素(带解)
错位: 4 封信放进 4 个标好名的信封,全部放错,几种? = D₄ = 9 种。
涂色: 排成一行的 4 格图,3 种颜色,相邻不同色,几种? 第1格3选,后每格都不能与左边同色 → 3×2×2×2 = 24 种。
相同元素(可空): 8 个相同球分给3人、允许有人为0:先给每人借1球变成「每人≥1」的11球分3人 → C(10,2)=45 种。
十一、易错集
⚠ ① 该用 A 还是 C?——题目「在乎顺序」就用 A,「只看选谁」就用 C。排队、排名次→A;选代表、抽样→C。
⚠ ② 分类要「不重不漏」:两类有重叠会多算,漏掉一类会少算。先想清楚分类标准。
⚠ ③ 平均分组忘记 ÷组数阶乘 —— 这是丢分重灾区。
⚠ ④ 导数题:求出 f′(x₀)=0 后必须验「两侧变号」才是极值;f′(x₀)=0 不一定是极值(如 y=x³ 在 0 处)。
⚠ ⑤ 恒成立分离参数后,务必确认定义域、端点能否取到等号(影响 ≥ 还是 >)。
⚠ ⑥ 含参讨论漏掉「分界值本身」那种情况(a=0、判别式=0),分类不完整直接扣分。
十二、尖子生拔高视角
① 切线放缩是「万能武器」: 把陌生的 lnx、eˣ 用 lnx≤x−1、eˣ≥x+1 换成多项式,难题瞬间降维。还可在任意点 x₀ 处做切线放缩,精度可调。
② 双变量必想「换元统一」: 见到 x₁、x₂ 就找它们的对称式(x₁+x₂、x₁x₂)或比值 t=x₂/x₁,把二元降为一元。极值点偏移问题尤其爱考。
③ 极值点偏移: 若 f(x₁)=f(x₂),证 x₁+x₂>2x₀(对称中心),常用「构造 F(x)=f(x)−f(2x₀−x) 求导」或「对数均值不等式」。
④ 计数题先问「是否区分顺序、元素是否相同、对象是否相同」三连问,定下来再选方法,几乎不会错。
⑤ 数形结合是导数题的灵魂: 任何「根的个数」「恒成立」「比较大小」,优先画图把代数翻译成图像位置关系。
十三、自测(先想,再点开)
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