子弹打木块、滑块木板、弹簧、碰撞——这些「多过程」大题,难不在公式,难在「分段」和「选对工具」。这页给你一套拆段法 + 三件法宝(动量/能量/动能定理)的选锅指南,再用动画把每个模型拨给你看。
看到「先…然后…接着…」就是多过程。拆段标准:受力情况发生变化的瞬间就切一刀(碰撞、离开斜面、弹簧自然长度、开始相对滑动/共速)。
⚠ 最常见的切段点:碰撞瞬间(动量守恒)、达到共速时(相对滑动结束)、弹簧恢复自然长度时(弹力做功结束)、物体离开轨道时。
每段斜率=加速度。转折点(变斜率)就是切段处。两线最终重合=共速。
适用条件: 系统所受合外力为零(或某方向合外力为零→该方向动量守恒);碰撞/爆炸瞬间,内力(冲击力)远大于外力(重力、摩擦)→ 近似守恒。
| 类型 | 特征 | 守恒情况 |
|---|---|---|
| 碰撞 | 两物接触相互作用极短 | 动量守恒;动能不增(≤原值) |
| 爆炸 | 内部释放能量,炸成几块 | 动量守恒;动能增大(化学能转入) |
| 反冲 | 一部分向后,主体向前 | 动量守恒(如发射、喷气) |
⚠ 动量是矢量!先规定正方向,反向速度代负号。一维问题尤其注意符号。动量守恒的「碰后动能不能超过碰前」是检验答案合理性的硬指标。
m₂初始静止。看碰后速度与动能变化,体会三类碰撞区别。
| 类型 | 动量 | 动能 | 结果 |
|---|---|---|---|
| 弹性碰撞 | 守恒 | 守恒(不损失) | 分开,各有速度 |
| 非弹性碰撞 | 守恒 | 部分损失 | 分开,损失介于两者间 |
| 完全非弹性 | 守恒 | 损失最多 | 粘在一起共速 |
三种特例(秒杀选择题): ① m₁=m₂:速度交换(v₁′=0,v₂′=v₀);② m₁≫m₂:大球几乎不变,小球以≈2v₀弹出;③ m₁≪m₂:小球原速反弹(v₁′≈−v₀),大球几乎不动。
⚠ 判别:动量必守恒(三类都守恒),区别在动能。完全非弹性损失最大(粘一起);损失的动能变成内能/形变热。检验:碰后动能 ≤ 碰前动能,且二者速度合理(不能后球追上前球)。
所有力做的总功 = 动能变化。变力、曲线、有摩擦都能用!尤其求「全程」时,不必分段,把各力总功加起来即可(摩擦力做功 = −f·s路程)。
⚠ 机械能守恒条件:只有重力或系统内弹力做功(其他力不做功或没有)。一旦有摩擦、外界拉力做功 → 机械能不守恒,改用动能定理或能量守恒。判断口诀:有摩擦生热→机械能必不守恒。
怎么算 s相对: s相对 = |物体A对地位移 − 物体B对地位移|(同向时相减,反向时相加绝对值)。在 v-t 图上,s相对 = 两条线之间夹的面积。
⚠ 子弹打木块:子弹位移 d₁、木块位移 d₂,子弹钻入深度 = d₁−d₂ = s相对,Q = f·(d₁−d₂)。很多人误用 f·d₁ 或 f·d₂,直接错。
子弹(红)射入木块(棕),相对滑动直到共速。Q=f·s相对=损失动能。注意 s相对 是子弹钻进去的深度,不是任何一个对地位移!
① 会不会相对滑动? 假设一起动,求所需摩擦力,若超过最大静摩擦 → 滑动;否则一起走。
② 各自加速度? 滑块受上表面摩擦;木板受上表面摩擦(反作用)+ 地面摩擦。分别用牛顿定律。
③ 何时共速 / 之后如何? 速度相等时刻为共速点。共速后看能否一起运动(再判一次摩擦)。
⚠ 木板下表面与地面也可能有摩擦,别漏。共速后:若外力撤去且地面有摩擦,可能一起减速;若上表面静摩擦不够维持一起,会继续相对滑动。
上:滑块(红)在木板(蓝)上滑,直到共速。下:两条位移线,中间高亮面积 = s相对(摩擦生热就靠它)。
① 弹性势能只与形变量有关: 压缩量相同 → Ep相同(不论怎么到达)。同一弹簧压缩x 和拉伸x,Ep相同。
② 弹簧最短/最长 ⇔ 两端共速: 此刻相对速度为0,形变量最大,弹性势能最大(动能多数转为Ep)。
③ 弹簧恢复自然长度 ⇔ 弹力做功结束、Ep全部释放回动能。
⚠ 「弹簧最短」不是「某物体速度为零」,而是「两端速度相等(共速)」!此刻系统动能最小、Ep最大。求最大Ep:先动量守恒求v共,再能量守恒 Ep=初动能−½(m₁+m₂)v共²。
两滑块压弹簧:弹簧最短时两者共速、Ep最大;弹开后Ep全变动能。蓝=动能,紫=弹性势能,总量守恒。
选一个情景关键词,立刻得到「用哪件法宝 + 为什么」。把这套条件反射练成肌肉记忆。
| 题目特征 / 关键词 | 首选工具 |
|---|---|
| 碰撞、爆炸、反冲、子弹打木块「瞬间」、系统无外力 | 动量守恒 |
| 问位移、求功、有摩擦、变力、全程 | 动能定理(万能) |
| 只有重力/弹力做功(光滑轨道、自由下落、单摆) | 机械能守恒 |
| 多种能量转化、求摩擦生热、求弹性势能 | 能量守恒 + Q=f·s相对 |
| 「最高点/最短/共速」临界、相对速度为零 | 临界条件 + 上面工具组合 |
触发信号:子弹射入木块并留在里面/穿出,求共速、穿入深度、生热、阻力。
标准动作:碰撞瞬间动量守恒求v共 → 能量守恒 Q=½m₁v₀²−½(m₁+m₂)v共² → Q=f·s相对求深度 d=Q/f。
示例(带解):子弹m=0.01kg,v₀=200,木块M=0.99kg静止,留在内。v共=0.01×200/1=2m/s。Q=½×0.01×200²−½×1×2²=200−2=198J。若f=990N,深度=198/990=0.2m。
陷阱:Q误用f×子弹对地位移;穿出时木块、子弹速度不同(不再共速)要分别处理。
触发信号:物体放在长木板上,问共速时间、相对滑动距离、生热、各自位移。
标准动作:分别求a → 找共速时刻 → 算各自位移 → s相对=差 → Q=f·s相对。共速后再判能否一起动。
示例(带解):滑块v₀=4静止木板上,μ给定a₁减速、a₂加速,令v₁=v₂解共速时间t,代入各位移作差得s相对。
陷阱:漏地面摩擦;共速后误以为永远一起;s相对算成对地位移。
触发信号:弹簧连接或夹在两物间,问最大Ep、最大压缩、弹开后速度。
标准动作:最短/最长时共速→动量守恒求v共→能量守恒求Ep;弹开恢复自然长度→Ep全回动能,动量+能量联立(像弹性碰撞)。
示例(带解):m₁=1 v₀=6 撞静止m₂=2(间夹弹簧)。共速v共=6×1/3=2,最大Ep=½×1×36−½×3×4=18−6=12J。
陷阱:误认「弹簧最短=某物速度0」(其实是共速);弹开后用了完全非弹性公式。
触发信号:含传送带、斜面、平面多段衔接,反复加速减速。
标准动作:逐段判物体与带/面的相对运动方向定摩擦方向 → 每段运动学/动能定理 → 速度衔接 → 全程能量审计。
示例(带解):传送带题:物块初速与带速比较定摩擦方向,达到带速后摩擦可能消失或反向,分段算位移与生热。
陷阱:摩擦方向判错(看相对带的运动);达共速后不再相对滑动(摩擦突变)。
触发信号:两物相碰,问碰后速度、判断弹性/非弹性、是否可能。
标准动作:动量守恒列式;判类型看动能是否守恒;用三特例秒杀;检验合理性(动能不增、不穿透)。
示例(带解):等质量弹性正碰:速度交换。m₁=m₂,v₀撞静止→碰后v₁′=0,v₂′=v₀。
陷阱:把完全非弹性当弹性;答案出现碰后动能>碰前(不合理)没检验。
触发信号:发射、喷气、人船模型、炸裂成几块。
标准动作:初动量(常为0)守恒;反向取负;人船模型用位移与质量成反比。
示例(带解):静止系统总动量0,炸成两块m₁v₁=m₂v₂反向;人船:m人·x人=m船·x船,x人+x船=船长。
陷阱:忘了初动量为零;方向符号错;人船模型位移方向。
① 摩擦生热 Q=f·s相对,不是对地位移!子弹打木块是钻入深度。
② 动量是矢量,反向必须代负号;先定正方向。
③ 机械能守恒条件:只有重力/弹力做功;有摩擦一定不守恒。
④ 「弹簧最短」=两端共速,不是某物速度为零。
⑤ 碰后动能不能大于碰前(除非爆炸);出现就是算错。
⑥ 共速后还要再判一次能否一起运动(摩擦突变)。
⑦ 完全非弹性损失动能最多;别和非弹性、弹性混。
⑧ 动能定理是W合(所有力总功),别漏摩擦力的负功。
⑨ 多过程速度衔接:上段末速=下段初速,别用错段。
① 把「相对运动」当作统一视角: 摩擦生热看相对路程、弹簧最短看相对速度为零、碰撞看相对速度反向——多过程的临界点几乎都是「相对量」的特殊值。养成先问「相对速度/相对位移是多少」的习惯,临界点自然浮现。
② 动量+能量「双守恒」是弹性碰撞的灵魂: 弹性碰撞速度公式不用背——动量守恒和动能守恒两式联立,用平方差公式 (v₁−v₁′)(v₁+v₁′)... 直接得「碰前相对速度=碰后相对速度大小反向」(恢复系数e=1)。理解 e 这个量,所有碰撞一把抓。
③ v-t 图是多过程的「上帝视角」: 把每个物体画在同一张 v-t 图上:斜率=加速度,线下面积=对地位移,两线间面积=相对位移=摩擦生热/f,交点=共速。一张图把所有量读出来,比硬算快得多。
④ 能量审计表防漏项: 复杂题列一张「初能量 = 末能量」总账:重力势能、动能、弹性势能、摩擦生热、其他。每项都填,守恒方程自然平衡,漏项立刻暴露——这是压轴题不丢分的硬功夫。
⑤ 选锅顺序:先动量后能量。 多过程综合题,通常碰撞段先用动量守恒求出衔接速度(能量段做不了,因为不知道损失多少),再用能量守恒求生热/势能。顺序反了往往卡死。记住:动量定方向与速度,能量算损失与势能。
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