这是压轴题里最爱出的一类:它把「电场加速/偏转 + 磁场偏转 + 电路能量」拼成一道长题。看起来吓人,其实就是分段——每一段各用各的规律,再用能量守恒和动量把各段串起来。带电粒子那一挂考「加速→偏转→圆周」三段轨迹;导体棒那一挂考「切割生电动势→回路电流→安培力→棒的运动」。
粒子的一生分三段,每段一个规律,绝不能混用:
| 阶段 | 发生什么 | 用的规律 |
|---|---|---|
| ① 电场加速 | 沿电场方向被加速,速度从 0(或 v₀)增到 v | 动能定理 qU = ½mv² − ½mv₀² |
| ② 电场偏转 | 垂直进入平行板,横向被电场推,走类平抛 | 水平匀速 x=vt;竖直匀加速 y=½at²,a=qE/m=qU′/(md) |
| ③ 磁场圆周 | 进入匀强磁场,洛伦兹力提供向心力,走圆弧 | 半径 r = mv/(qB);周期 T=2πm/(qB) |
缝合处: 第①段算出的末速度 v,就是第②段的水平初速度;第②段离开电场时的合速度 v′=√(v²+v_y²),就是第③段进磁场的速率。洛伦兹力不做功,所以磁场里速率不变、只改方向。
⚠ 三段各归各算!加速段用动能定理(qU),偏转段用类平抛,圆周段用 r=mv/qB。把偏转当匀速直线、把磁场里的力当恒力,是最常见的翻车。
三段颜色不同:蓝=加速(越走越快)、橙=偏转(向下弯的抛物线)、绿=圆周(洛伦兹力转圈)。加大 U 粒子更快、偏转更小、圆更大;加大 B 圆更小(r=mv/qB)。洛伦兹力不做功,速率进磁场后不再变。
导体棒问题的因果链(记住这条链,题就通了):
| 环节 | 公式 | 要点 |
|---|---|---|
| 切割生电动势 | ε = BLv | v 是切割方向的速度分量;L 是有效长度 |
| 回路电流 | I = ε/(R+r) | R 外电阻,r 棒(及导轨)内阻,串联 |
| 安培力 | F = BIL = B²L²v/(R+r) | 方向阻碍棒的运动(楞次定律),棒越快力越大 |
| 能量 | W外 = ΔEk + Q热 | 克服安培力做的功 = 电路消耗电能 = Q热 |
三大分析工具怎么选: 问「某时刻加速度/受力」用牛顿第二定律;问「速度变化与冲量/时间」用动量定理(冲量 ∫F dt 常能化成 BLq,q=通过的电荷量);问「位移、发热、最终速度」用能量守恒。
⚠ 安培力 F=B²L²v/(R+r) 跟速度 v 成正比:v 越大力越大 → 这是「越跑越难跑」直到匀速的根源。电路消耗的电能全部变成电阻发热 Q,别漏了棒自身内阻 r 那一份热。
棒向右动(蓝箭 v),切割×(垂直纸面向里的 B)。红箭是安培力 F,永远指向左边——阻碍运动。加大 v 或 B,ε、I、F 全跟着涨;加大 R,电流小了、安培力也小了。
把导体棒看成一个「电源」: 切割生的电动势 ε=BLv 就是电源电动势,棒自身内阻 r 就是电源内阻,外面的电阻 R 就是外电路。整条回路就是一个最简单的闭合电路。
于是所有闭合电路的结论都能搬过来: 路端电压 U_R=IR,内耗 I²r,外电阻功率 I²R,总功率 εI=Fv(安培力的功率=电源总功率)。双杆时,一根切割做电源、另一根不切割则做纯电阻(或两根都切割,电动势相减/相加)。
⚠ 别忘棒的内阻 r!很多题 ε=I(R+r),漏掉 r 直接 ε=IR 就错。若两根棒都在动,要判断两个电动势是叠加还是抵消(看谁把磁通往哪个方向变)。
左边橙块是「导体棒电源」ε 和内阻 r,右边蓝块是外电阻 R,串成一圈,电流 I 沿箭头流。内阻 r 越大,分掉的电压越多、路端电压 U_R 越小——这就是「漏掉 r 会算错」的直观来源。
触发信号:粒子先经加速电压 U 加速,再垂直进入偏转电场,问打在屏上的偏移量、偏转角。关键词「示波管」「偏转电压」「屏」。
标准动作:①加速段 qU=½mv² 求出 v;②偏转段类平抛:水平 x=vt,竖直 y=½·(qU′/md)·t²,得 y=U′L²/(4dU);③出场后匀速直线到屏,总偏移 Y=y+(L/2+D)·tanθ。
示例(带解):电子经 U 加速后 v=√(2eU/m)。进入长 L、板距 d、电压 U′ 的偏转场,飞行时间 t=L/v。竖直偏移 y=½·(eU′/md)·(L/v)²。代入 v²=2eU/m 得 y=U′L²/(4dU)——漂亮地消掉了 e/m,只跟电压几何量有关。
陷阱:把偏转当匀速直线(忘了横向加速度);加速电压 U 与偏转电压 U′ 混用;算屏上总偏移时漏掉出场后那段直线延伸。
触发信号:粒子加速后进入匀强磁场走圆弧;或电场磁场同时存在做「速度选择器」。关键词「磁偏转」「圆弧」「恰好射出」。
标准动作:①加速 qU=½mv² 得 v;②进磁场 r=mv/(qB),配合几何(弦长、圆心角)定轨迹;速度选择器则令电场力=洛伦兹力 qE=qvB → v=E/B(与电荷、质量无关)。
示例(带解):离子经 U 加速,v=√(2qU/m),进入 B 中,r=mv/(qB)=√(2mU/q)/B。若沿边界射入、转半圈从同侧射出,射出点与入射点距离=2r。质谱仪正是靠 r 与 √(m) 成正比来分辨不同质量的离子。
陷阱:洛伦兹力方向用错手(负电荷要反向);半径公式里用错速度(要用进磁场瞬间的速率);几何关系(圆心在垂直于速度的方向上)画错。
触发信号:光滑水平导轨上两根导体棒,一根给初速、一根静止,问最终共同速度、总发热。关键词「两根棒」「光滑」「最终」。
标准动作:两棒受到等大反向的安培力(牛顿第三定律,同一电流) → 系统动量守恒:m₁v₀=(m₁+m₂)v共。发热 Q=初动能−末动能。
示例(带解):棒1(m,v₀)、棒2(m,静止),光滑导轨。安培力等大反向、内力,动量守恒:mv₀=2mv共 → v共=v₀/2。发热 Q=½mv₀²−½·2m·(v₀/2)²=½mv₀²−¼mv₀²=¼mv₀²(初动能的一半变成了热)。
陷阱:误用能量守恒去求共同速度(能量有损耗,不知 Q 无法解);忘了「光滑」才动量守恒,若有摩擦或外力则不守恒;两棒质量不同时 v共=m₁v₀/(m₁+m₂)。
触发信号:棒在恒力(或重力分量)下运动,问「最大速度/稳定速度/最终匀速」。关键词「最大速度」「匀速」「稳定」。
标准动作:稳定/最大速度的判据是加速度 a=0 → 合力为零 → 外力 = 安培力:F=B²L²v_m/(R+r) → 解出 v_m=F(R+r)/(B²L²)。倾斜导轨则 mg sinθ=B²L²v_m/(R+r)。
示例(带解):棒质量 m,受恒定拉力 F,导轨光滑。速度越大安培力越大,直到 F=B²L²v_m/(R+r),此时 a=0,速度不再增大。v_m=F(R+r)/(B²L²)。此后匀速,输入功率 Fv_m 全部变成热 I²(R+r)。
陷阱:把「稳定速度」当成初始就有;忘了 a=0 这一判据而去凑复杂微分;倾斜面漏掉 sinθ;把 v_m 代进能量式却忘了达到 v_m 前还有一段加速过程(有 ΔEk)。
触发信号:问「产生多少电能/发多少热/克服安培力做多少功/效率」。关键词「电能」「焦耳热」「克服安培力做功」。
标准动作:能量总账 W外 = ΔEk + Q热。克服安培力做的功=转化成的电能=总发热 Q;Q 按电阻分配:Q_R=R/(R+r)·Q,Q_r=r/(R+r)·Q。若匀速则 ΔEk=0,W外=Q全部。
示例(带解):棒在拉力 F 下移动距离 s,速度由 v₁ 增到 v₂。W外=Fs,ΔEk=½m(v₂²−v₁²)。则总发热 Q=Fs−½m(v₂²−v₁²)。其中外电阻发热 Q_R=Q·R/(R+r)。
陷阱:漏掉棒内阻 r 那份热;把「电能」和「外电阻热」当同一个(电能=总热=Q_R+Q_r);匀速时误以为还有动能变化。
触发信号:问「安培力的冲量」「一段时间内速度变化」「通过的电荷量」。关键词「冲量」「电荷量 q」「Δt」。
标准动作:对棒用动量定理 ∫F外dt−∫BIL dt=Δp。安培力冲量 ∫BIL dt=BL∫I dt=BLq(q 是通过的电荷量,q=∫I dt=ΔΦ/(R+r)=BLΔx/(R+r))。
示例(带解):棒无外力仅靠惯性在磁场中减速,动量定理:−BLq=0−mv₀ → q=mv₀/(BL)。又 q=BLΔx/(R+r),联立得滑行距离 Δx=mv₀(R+r)/(B²L²)。这一步把「动量」和「电荷量」漂亮地缝在一起。
陷阱:想对变化的安培力硬算 F·t(F 随 v 变);忘了 ∫I dt=q 这个桥;电荷量公式 q=ΔΦ/(R+r) 里用错磁通变化量。
红棒(1)推动、蓝棒(2)被拖着走。二者安培力等大反向(同一个电流),是系统内力 → 总动量 p 全程不变(看那格数字纹丝不动)。而动能不断变成电阻里的热 Q,最后两棒同速、电流为零、不再发热。
v-t 曲线:一开始 a 大(拉力远大于安培力),速度猛涨;越快安培力越大,a 越来越小,曲线弯平,最终贴着虚线 v_m 匀速(a=0,拉力=安培力)。加大 F 抬高 v_m,加大 B 或减小 R 压低 v_m。
匀速拉棒(ΔEk=0):你输入的机械功先经安培力全数变成电能,电能再在电阻里全数变成热。三个数字始终相等(小球从左流到右代表能量搬家),ΔEk 恒为 0——这就是「W外=Q」的可视版。
① 不分段是头号死因!加速用 qU=½mv²,偏转用类平抛,圆周用 r=mv/qB,三段各归各,速度在段与段之间传递(上段末速=下段初速)。
② 感应电流方向:先判磁通怎么变(增/减),楞次定律「阻碍变化」定感应电流方向,或右手定则直接判切割棒的电流方向。
③ 安培力方向:左手定则,且结果永远阻碍棒的相对运动(这是检验答案的金标准)。别把它画成助推。
④ 能量守恒各项别漏:W外=ΔEk+Q,Q 是总热(含棒内阻 r 的热);电能=总热;外电阻热只是 Q 的一部分 Q_R=R/(R+r)·Q。
⑤ 稳定/最大速度判据是 a=0(合力为零,外力=安培力),不是「速度最大时安培力最大就停」的含糊说法。达到前还有加速过程(有 ΔEk)。
⑥ 洛伦兹力不做功:磁场里粒子速率不变,只改方向;别用动能定理去算磁场段的「速度变化」(它不变)。
⑦ 漏掉棒内阻 r:ε=I(R+r) 不是 IR;发热要含 I²r。
⑧ 双杆动量守恒的前提是「光滑+只有内部安培力」:有摩擦、有外力或导轨不水平就不守恒。
⑨ 安培力是变力(F∝v),求冲量别写 F·t,要用 ∫BIL dt=BLq(q=电荷量)。
① 长题的骨架永远是「分段 + 缝合」: 先在草稿上把粒子/棒的运动切成几段,每段写清「用哪条规律、已知什么、求什么」,再用两条缝合线——速度连续(上段末速=下段初速)和能量总账(W外=ΔEk+Q)——把段与段接起来。会分段,压轴题就拆成了几道小题。
② 三种工具对应三种问题: 问「某瞬时受力/加速度」→牛顿第二定律;问「一段过程的速度改变/冲量/电荷量」→动量定理(安培力冲量=BLq 是神来之笔);问「位移/发热/最终态」→能量守恒。选对工具=选对了最短路径。
③ 「越快越难跑」是电磁感应的灵魂: 安培力 F=B²L²v/(R+r)∝v,像一个「速度阻尼」。它导致三种典型结局——恒力下趋于匀速(a→0)、无外力下指数减速直至停、双杆下趋于共速。看到「最终/稳定/共同速度」,先想 a=0 或动量守恒。
④ 把导体棒彻底当成一个电源: ε=BLv 是电动势、r 是内阻、外面是 R,于是闭合电路的一切(路端电压、内耗、功率分配、效率)都能直接搬。双杆时两个电源电动势相减,回路电流由「相对速度」决定 I=BL(v₁−v₂)/(R+r+…)——这解释了为什么它们最终共速(相对速度归零,电流归零,安培力归零)。
⑤ 动量与电荷量的桥 ∫I dt=q: 安培力对时间积分 ∫BIL dt=BL∫I dt=BLq,而 q=ΔΦ/(R+r)=BLΔx/(R+r)。这一步把「时间视角(动量)」和「电荷视角(电磁感应)」焊死,是求「滑行距离」「速度改变」这类不给时间细节题目的万能钥匙。
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