这一章的骨架其实很简单:直线怎么写(五种形式,各有失效的场景)、圆怎么写(标准式看圆心半径,一般式先判是不是圆)、它们俩什么关系(比大小:d 和 r 比、圆心距和 R+r/|R−r| 比)。几乎所有题都是这三件事的排列组合,把每个「失效条件」记牢,这一章就没有陷阱了。
| 形式 | 方程 | 失效/限制条件 |
|---|---|---|
| 点斜式 | y−y₀=k(x−x₀) | 斜率不存在(竖直线)时不能用,必须单独设 x=x₀ |
| 斜截式 | y=kx+b | 同样要求斜率存在;竖直线无法表示 |
| 两点式 | (y−y₁)/(y₂−y₁)=(x−x₁)/(x₂−x₁) | x₁=x₂(竖直)或 y₁=y₂(水平)时分母为0,需先讨论 |
| 截距式 | x/a+y/b=1 | 过原点(无截距)或截距为0或平行于坐标轴时不能用 |
| 一般式 | Ax+By+C=0(A,B不同时为0) | 万能形式,能表示所有直线(含竖直线),但不直观 |
选哪种? 已知一点+斜率 → 点斜式;已知两点 → 两点式;已知在两轴的截距 → 截距式;题目让你「设直线方程」求参数、又不确定斜率是否存在 → 优先用一般式,或分「斜率存在/不存在」两种情况讨论。一般式最保险,因为它不会漏掉竖直线。
⚠ 陷阱之王:题目说「过点 P 的直线」若设成 y−y₀=k(x−x₀),就默认排除了竖直线!只要题目没有明说斜率存在,必须先讨论「斜率不存在」这一支,再讨论「斜率存在,设为 k」。截距式同理,过原点的直线、与坐标轴平行的直线都设不出截距式,必须单独讨论。
拖动 k 或点「切换竖直线」,观察下方哪些形式还能正常写出方程——竖直线时点斜式/斜截式直接失效,只能用 x=x₀ 或一般式。
把一般方程配方:(x+D/2)²+(y+E/2)² = (D²+E²−4F)/4。所以:
| D²+E²−4F 的符号 | 图形 |
|---|---|
| >0 | 是圆,圆心 (−D/2, −E/2),半径 r=½√(D²+E²−4F) |
| =0 | 是一个点 (−D/2, −E/2)(退化圆,半径为0) |
| <0 | 不表示任何图形(无实数解) |
⚠ 拿到一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0 的第一件事永远是算 D²+E²−4F 的符号,直接当成圆来求圆心半径是最常见的送分题失分点。另外系数必须是 x²、y² 的系数都为 1 且相等,否则要先除以公因数化成这个标准形式。
配方后 (x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²−4F)/4。判别量>0 画出圆;=0 只剩一个点;<0 什么都画不出来(下方会提示)。
这是整章的「量尺」。求出圆心到直线的距离 d,与半径 r 比较:
| 比较 | 位置关系 | 方程组解的个数 |
|---|---|---|
| d < r | 相交(两个交点) | 联立后判别式 Δ>0 |
| d = r | 相切(一个交点) | Δ=0 |
| d > r | 相离(无交点) | Δ<0 |
两条路都能判: ① 幾何法——算 d 与 r 比大小(更快,推荐);② 代数法——直线代入圆方程消元,看判别式 Δ 的符号(适合还要求交点坐标时)。只判位置关系用①,要具体交点坐标或弦长常常还是要联立。
⚠ 距离公式的直线必须是一般式 Ax+By+C=0;如果题目给的是 y=kx+b,要先移项整理成 kx−y+b=0 再代入,别漏了系数或搞错 A、B、C 对应关系。
固定直线 x−y+1=0(即 A=1,B=−1,C=1),拖点观察垂线段长度与公式计算值始终一致——公式算的就是「点到直线的垂线段长」。
位置关系的判断本质就是「圆心到直线的距离 d」和「半径 r」比大小,下面直接把直线拖到不同位置,实时看 d 与 r 的关系如何切换相交→相切→相离。
⚠ 相切是「恰好」的临界状态,做题时若已知相切,直接令 d=r 列方程解未知数(比联立判别式=0 更快)。
圆心固定在原点,直线为 x+y+c=0,拖 c 相当于平移直线。d=|c|/√2,与 r 比较即得三种关系。
几何原理: 圆心向弦作垂线,垂足恰为弦的中点(垂径定理)。这样就构成一个直角三角形:斜边是半径 r,一条直角边是弦心距 d,另一条直角边是半弦长(弦长的一半)。由勾股定理:
解题标准动作:① 把直线化成一般式;② 求圆心到直线的距离 d;③ 直接代入弦长公式,不需要求出两个交点坐标。这比联立方程用韦达定理算 |AB| 快得多。
⚠ 常见算错:把 d 和 r 的位置搞反,写成 2√(d²−r²)(此时 d>r 直线与圆根本不相交,根号内为负,方程无解——出现这种情况说明前面 d 算错了)。还有人直接忘记乘以 2,只算了半弦长当弦长。
红色直角三角形:斜边=r,竖直角边=d,水平角边=半弦。d 拖到超过 r 时,直线已与圆相离,弦不存在(下方会提示)。
切线垂直于过切点的半径。若圆心为 (a,b),半径方向斜率为 (y₀−b)/(x₀−a),则切线斜率为其负倒数。对标准圆 (x−a)²+(y−b)²=r²,切线方程可直接写成:
这是「配方对称代入法」的结果,不需要先求斜率,记住这个公式最快。
圆外一点能作两条切线。标准做法:设切线斜率为 k,写成点斜式 y−y₁=k(x−x₁)(即 kx−y+(y₁−kx₁)=0),令圆心到该直线的距离 = r,解出两个 k 值。
⚠ 头号陷阱:过圆外点作切线,若直接设点斜式 y−y₁=k(x−x₁) 求 k,会漏掉「斜率不存在」的竖直切线。到底什么时候才有竖直切线?——当过 Q 的竖直线 x=x₁ 恰好与圆相切,即圆心到直线 x=x₁ 的距离 |x₁−a|=r(Q 的横坐标与圆心横坐标正好相差一个半径)。此时其中一条切线就是 x=x₁,点斜式只能解出另一条,必须把 x=x₁ 单独补上。
✅ 别记反了:当 Q 在圆心的正上方/正下方(x₁=a、连线竖直)时,两条切线关于这条竖直线左右对称、斜率都存在(见下图 Q(0,5),斜率 ±1.33),并不会出现竖直切线;竖直切线只在 x₁=a±r 时才冒出来。
圆固定为 x²+y²=9(圆心原点,半径 R=3)。竖直切线只在 x₁=±3 时才出现——此时 Q 的横坐标离圆心正好一个半径,过 Q 的竖直线 x=x₁ 恰好与圆相切,一条切线就是 x=x₁,点斜式只能求另一条(最容易漏掉的就是它)。反过来,把 Q 拖到圆心正上/正下方(x₁=0)时,两条切线关于 y 轴左右对称、斜率都存在(如 Q(0,5) 的 ±1.33),并不会有竖直线。
设两圆半径为 R、r(R≥r),圆心距为 d,比较 d 与 R+r、|R−r| 即可:
| 比较 | 位置关系 | 公切线条数 |
|---|---|---|
| d > R+r | 外离 | 4 条 |
| d = R+r | 外切 | 3 条 |
| |R−r| < d < R+r | 相交(两个交点) | 2 条 |
| d = |R−r|(R≠r) | 内切 | 1 条 |
| 0 ≤ d < |R−r| | 内含(d=0 为同心圆) | 0 条 |
⚠ 别把 R+r 和 |R−r| 记反:两圆越推越远是「外离」对应 d 变大(>R+r);一个圆缩到另一个圆里面是「内含」对应 d 变小(<|R−r|)。判断前先算好两个半径,分清哪个是 R(大)哪个是 r(小)。
左圆固定在原点,右圆圆心随 d 移动。留意 d 经过 R+r 和 |R−r| 两个临界值时关系如何跳变。
触发信号:「求过点 P 的直线方程」「过两点」「在坐标轴上的截距」,没有明说斜率是否存在。
标准动作:先看是否需要讨论斜率不存在的情形(竖直线);若不确定,分两种情况:① k 不存在,直线为 x=x₀,单独代入验证;② k 存在,设 y−y₀=k(x−x₀),代入条件解 k。截距式只在两截距都非零且不过原点时可用。
示例(带解):过点 (2,3) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程。① 若截距为0(过原点):设 y=kx,代入 (2,3) 得 k=3/2,即 y=3x/2;② 若截距不为0:设 x/a+y/a=1 即 x+y=a,代入得 a=5,即 x+y−5=0。两解都要写,漏一个就错。
陷阱:只考虑斜率存在或只考虑截距不为0的情形,漏掉另一支;两点式中忘记讨论 x₁=x₂ 的情形。
触发信号:给出 x²+y²+Dx+Ey+F=0 形式,要求判断是否表示圆、求圆心和半径。
标准动作:先算 D²+E²−4F,大于0才是圆,圆心 (−D/2,−E/2),半径 ½√(D²+E²−4F)。若 x²、y² 系数不为1,先除以公因数化简。
示例(带解):x²+y²−4x+2y+m=0 表示圆,求 m 的范围。D=−4,E=2,D²+E²−4F=16+4−4m=20−4m>0,解得 m<5。
陷阱:直接套圆心半径公式而不验证判别量是否大于0;x²、y² 系数不为1时忘记先化简。
触发信号:给出直线和圆方程,问「相交/相切/相离」,或给参数问「使其相切」求参数值。
标准动作:求出圆心和半径,代入距离公式算 d,与 r 比较;若已知相切直接令 d=r 解方程,比联立判别式更快。
示例(带解):直线 3x+4y+m=0 与圆 x²+y²=4 相切,求 m。圆心(0,0),半径2。d=|m|/5=2,解得 m=±10。
陷阱:忘记相切时结果通常有两个值(绝对值方程);把圆的一般方程直接当标准方程读圆心半径。
触发信号:「直线截圆所得弦长」「弦AB的长度」,给了直线和圆方程。
标准动作:求圆心到直线的距离 d,代入弦长=2√(r²−d²),不必求交点坐标。若题目还要弦的中点或垂直平分线,再用垂径定理配合圆心。
示例(带解):圆 x²+y²=25,直线 3x+4y−25=0 截得的弦长。圆心(0,0)到直线距离 d=|−25|/5=5=r,说明相切,弦长为0(单点)。若直线换成 3x+4y−15=0,则 d=15/5=3,弦长=2√(25−9)=2×4=8。
陷阱:直接联立解交点再用两点间距离公式(计算量大且易错);忘记先检查 d≤r 这个前提。
触发信号:「过圆上一点的切线」「过圆外一点作切线」「公切线」。
标准动作:圆上点用对称代入公式 (x₀−a)(x−a)+(y₀−b)(y−b)=r²;圆外点先检验竖直线是否为切线,再设点斜式令 d=r 解出另一条(或另两条)斜率。
示例(带解):过点 (5,0) 作圆 x²+y²=9 的切线。检验竖直线 x=5:圆心到该直线距离=5≠3,不是切线。设 y=k(x−5) 即 kx−y−5k=0,d=|−5k|/√(k²+1)=3,25k²=9k²+9,k²=9/16,k=±3/4。两条切线:y=¾(x−5) 和 y=−¾(x−5)。
陷阱:只解出点斜式给出的这一支,漏检验竖直切线是否存在;把「过圆上一点」和「过圆外一点」的方法搞混(圆上点只有一条,不需要判别式)。
触发信号:给两个圆的方程,问位置关系,或求两圆公共弦所在直线方程/公共弦长。
标准动作:求两圆心和半径,算圆心距 d,与 R+r、|R−r| 比较得位置关系。若相交求公共弦,两圆一般方程相减消去二次项,得到的一次方程就是公共弦所在直线;再按弦长公式(对其中一个圆)算弦长。
示例(带解):圆 x²+y²=4 与圆 x²+y²−4x+2y=0 相交,求公共弦所在直线。两式相减:(x²+y²)−(x²+y²−4x+2y)=4−0 ⟹ 4x−2y=4 ⟹ 2x−y−2=0,即为公共弦所在直线。
陷阱:两圆方程相减时,若两圆二次项系数不同(不都是1),要先统一系数再相减;算完直线后忘记它只是「所在直线」,弦长仍要另外用弦长公式求。
① 点斜式/斜截式对竖直线(斜率不存在)失效,题目没说斜率存在就必须分类讨论,单独设 x=x₀。
② 截距式对过原点或截距为0或与坐标轴平行的直线失效,同样要分类讨论。
③ 一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0 拿到手先判 D²+E²−4F>0,不满足就根本不是圆,不能直接读圆心半径。
④ 点到直线距离公式里的直线必须是一般式 Ax+By+C=0,斜截式要先移项整理,别把系数对应错。
⑤ 弦长公式是 2√(r²−d²),别写成 √(r²−d²)(漏乘2)或把 d、r 位置写反。
⑥ 过圆外一点作切线有两条,用点斜式求解前一定先检验竖直线是否是切线之一,否则会漏解。
⑦ 圆与圆位置关系比较的是圆心距 d 与 R+r、|R−r|,别记反外切内切对应的不等式方向。
⑧ 相切问题直接令 d=r 解方程即可,不需要非得联立方程组用判别式=0(更慢,容易算错)。
⑨ 求两圆公共弦所在直线,是把两个圆的方程相减(消去二次项),前提是两圆二次项系数相同(通常都是1)。
① 一般式是「万能挡板」: 点斜式、斜截式、截距式都有各自的失效条件,但一般式 Ax+By+C=0(A、B不同时为0)能表示平面内任何直线,包括竖直线(此时 B=0)。拿不准某条直线是否会撞上某种形式的失效条件时,直接设一般式或分类讨论,永远不会错。
② 判位置关系,几何法永远比代数法快: 判断直线与圆(或圆与圆)的位置关系,「比较距离与半径(或半径和/差)」这条几何路径,比「联立方程组算判别式」快一个量级,尤其是含参数的题。只有需要具体交点坐标时才不得不联立。
③ 弦长本质是勾股定理,别死记结论: 半弦² + 弦心距² = 半径²,这个直角三角形关系可以推出弦长、也可以反过来已知弦长求 d 或 r。凡是「垂径定理」相关的题(弦的中点、垂直平分线过圆心),都是这个直角三角形的变形应用。
④ 切线的两种求法本质相同: 圆上一点的切线公式 (x₀−a)(x−a)+(y₀−b)(y−b)=r² 其实是「圆心到切线距离=r」这个条件在切点已知时的化简结果。理解了这一点,你会发现「圆上点」和「圆外点」的切线问题本质上是同一个 d=r 方程,只是圆上点因为知道切点、可以跳过设斜率这一步。
⑤ 两圆方程相减 = 找公共弦,不是巧合: 若两点同时满足两个圆的方程,代入相减后二次项抵消,说明交点必然在这条一次方程(直线)上——这就是「公共弦所在直线」的由来,本质是两个方程联立消元的代数操作,推广到更多场景(如根轴)都是同一思路。
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