带电粒子进磁场,只受洛伦兹力,轨迹永远是圆弧。这一页不教你背公式,教你两件真本事:画圆找几何关系(圆心在哪、半径多长、弦与圆心角)和想全所有可能(正负电荷、速度大小、进入方向、周期性回到,一个都不能漏)。临界问题的钥匙只有一句:恰好射出边界 = 轨迹与边界相切。
洛伦兹力 F=qvB 永远垂直于速度,不做功、不改变速率,只不停地拐弯——这正是匀速圆周运动。让洛伦兹力当向心力,一步得到半径:r = mv/(qB)。速度越大,「绳」越长,圆越大。
| 量 | 公式 | 关键点 |
|---|---|---|
| 半径 r | r = mv/(qB) = p/(qB) | 随 v 变,速度越大圆越大 |
| 周期 T | T = 2πm/(qB) | 与速度无关!快粒子走大圈,慢粒子走小圈,用时一样 |
| 转过某弧的时间 t | t = (θ/2π)·T | θ 是圆心角(弧度或角度都行) |
⚠ 周期与速度无关是高频考点。别以为速度大周期就短——半径也同比例变大,一转下来时间正好抵消。转过圆心角 θ 的时间只看 θ 和 T,与 v 无关。
蓝点=粒子,红箭=速度(切向),绿箭=洛伦兹力(指向圆心,垂直速度)。改 v 圆变大/小;改 B 圆反向变化。注意周期数字:改 v 时它不动——周期与速度无关。
磁场题 90% 的分,在「把圆画对」这一步。牢记三条:
定圆心的两把钥匙: (a) 过入射点作速度的垂线,圆心在这条线上,离入射点距离 r;(b) 若知道两个轨迹点,作它们连线的中垂线,与(a)的交点就是圆心。半径方向由洛伦兹力(qv×B)指向决定。
连接入射点和出射点得弦长 L;弦对应的圆心角 θ满足 L=2r·sin(θ/2);圆心到弦的垂线平分弦、平分圆心角(垂径定理)。偏转角(速度方向转过的角)= 圆心角 θ。
⚠ 圆心不在速度方向上,而在垂直速度方向上!这是画错圆的头号原因。半径永远垂直速度,切边界时半径垂直边界。
A=入射点,B=出射点,红线=弦,紫虚线=圆心到弦的垂径(平分弦、平分圆心角)。灰箭是两端的速度(切向)——速度转过的角=圆心角 θ。会连弦作垂径,角就出来了。
临界问题的核心翻译,只有一句话:
为什么? 半径太小→圆整个缩在场内出不去(从原边界折返);半径太大→轻易穿出。「恰好」就卡在两者之间:圆与目标边界相切,擦着边过。切点处半径垂直边界,这给你一个铁的几何约束。
| 临界类型 | 几何翻译 | 常求 |
|---|---|---|
| 恰好射出对边 | 圆与对边相切 | 最小速度/最小半径 |
| 恰好不射出 | 圆刚好内切,直径=场宽 | 最大速度/最大半径 |
| 恰好回到某点 | 该点在圆上,弦=定长 | 特定 r 或 v |
能射出的最小半径: 圆与出射边界相切时的 r（再小就出不来）→ 对应最小速度 v=qBr/m。不射出的最大半径: 直径恰等于场区宽度 d,即 2r=d,r=d/2 → 对应最大速度。
⚠ 「恰好」两个字=相切。切点处半径必垂直边界。别去凑「圆刚好碰到边界某点」——相切是唯一严格条件,能一次锁死半径。
粒子从上边界进入,场区是一条水平带。r 太小→圆缩在场内出不来(红);r 恰好让圆与下边界相切→临界(绿,恰好射出);r 更大→穿出(蓝)。切点处半径垂直下边界。
若题目只说「从 P 点射入,方向沿某方向」却没给速度大小,那速度可大可小 → 半径 r=mv/(qB) 可大可小 → 是一簇同起点、同切向的圆,圆心都在过 P 的速度垂线上,离 P 远近不同。
怎么办? 用临界条件把 v 的范围卡出来:比如「粒子要能从右边界射出」给出 r 的最小值,「不能从上边界跑掉」给出 r 的最大值,合起来就是速度的取值范围。多解题往往求的就是一段区间或几个临界值。
⚠ 看到「速度大小未知/可调」,立刻意识到这是一簇圆,答案多半是范围。用相切写出临界的最大、最小半径,别只算一个值。
所有圆从同一点 P 出发、同一切向,只是速率不同→半径不同。圆心全在过 P 的速度垂线上(灰虚线)。速度越大,圆越大,能到达越远——这就是速度不定时的「圆族」。
洛伦兹力方向由 F=qv×B 决定,q 变号,力就反向 → 圆心跑到速度的另一侧 → 轨迹向相反方向弯。若题目没说电荷正负(只说「带电粒子」),就有两条对称的轨迹,是典型的双解。
对称性: 两解关于「过入射点的速度方向直线」镜像对称。半径大小相同(|q| 相同时),但偏转到不同侧,出射点、飞行时间、打在边界的位置可能都不同。
⚠ 只说「带电粒子」而未指明正负 → 一定要考虑两种偏转方向。别默认为正电荷只写一个答案,漏掉负电荷的对称解=丢一半分。
同一入射点、同一速度、同一 B。红弧=正电荷(偏向一侧),蓝弧=负电荷(偏向另一侧)。两条弧关于入射速度方向镜像对称。电荷符号没给,两条都得算。
若从同一点 P 射入但方向可任意(如放射源向各方向发射),半径相同的话,所有圆心都在以 P 为心、r 为半径的圆上。这些轨迹圆的包络是一个以 P 为心、2r 为半径的大圆——粒子能到达的最远距离是 2r(直径)。求「能否打到某点/某边界」就看该点是否落在这个 2r 范围内。
粒子在场内可能转过 θ、θ+2π、θ+4π…… 都回到同一几何位置。若题目问「经过时间 t 后在哪」或「第几次经过某点」,要考虑转了 n 圈(t=nT+t₀)带来的多个解;若磁场区域有限,还要判断哪几圈的轨迹真的落在场内。
⚠ 放射源发散 → 想到「圆心在半径 r 的圆上、包络 2r」;问时间/位置 → 想到「加 nT 的周期性多解」。这两类最容易只写一个答案。
点 P 向各方向发射(相同速率、相同电荷)。每条轨迹是半径 r 的圆,圆心都在以 P 为心、r 为半径的圆上(灰)。所有圆的外包络是半径 2r 的大圆(绿)——这就是粒子能到达的最远边界。
边界形状决定几何关系,常考两类:
粒子从一侧进入宽 d 的矩形场。能否穿出对面? 看圆能不能够到对边:垂直进入时,穿出对边要求 r≥d(否则圆折返回原边)。偏转角由 sinθ=d/r(垂直入射穿出时)或几何关系定。恰好射出对边=圆与对边相切,r=d。
粒子从圆形场边界进入。有个漂亮结论:沿半径方向(指向圆心)射入的粒子,必沿半径方向射出(几何对称)。求出射点、偏转角,靠两半径(场半径 R、轨迹半径 r)构成的几何图,常用 tan(θ/2)=R/r 一类关系(视具体入射方式)。
⚠ 矩形场看「宽度 d 与 r 的比较」定能否穿出;圆形场善用「对称性」(沿半径进→沿半径出)。别硬套公式,画出场边界+轨迹圆的几何图,关系自然显现。
粒子垂直左边界进入宽 d 的矩形场。r<d→圆够不到右边,从左边折返(不穿出);r=d→恰好相切临界;r>d→穿出右边,偏转角 sinθ=d/r。拖动 r、d 看临界翻转。
粒子沿半径方向(指向场心 O)从边界射入圆形磁场,弯一段弧后又沿半径方向射出(对称)。红圆=轨迹,蓝圆=场边界。偏转角 θ 满足 tan(θ/2)=R/r。r 越大轨迹越直,偏转越小。
触发信号:给 m、q、B、v(或动能、动量)求半径;给 B 求周期;问「转过某段弧用多长时间」。
标准动作:r=mv/(qB)=p/(qB);T=2πm/(qB);转过圆心角 θ 的时间 t=(θ/2π)·T。已知动能用 v=√(2Ek/m) 或 p=√(2mEk) 换算。
示例(带解):质子 m=1.67e-27kg、q=1.6e-19C,以 v=2e6 m/s 进入 B=0.5T。r=mv/(qB)=(1.67e-27×2e6)/(1.6e-19×0.5)≈0.042m。周期 T=2πm/(qB)≈1.3e-7s,与 v 无关。转过 90° 用 T/4。
陷阱:把周期当成随速度变;算时间时用弧长/速度绕远路——直接 t=(θ/2π)T 最快。
触发信号:「恰好从…边界射出」「恰好不能射出」「最大/最小速度」「至少多大磁场」。
标准动作:把「恰好」翻译成相切;画轨迹圆与目标边界相切,切点处半径⊥边界;由几何列出 r 与场区尺寸的关系,再 r=mv/(qB) 反解 v 或 B。
示例(带解):粒子垂直进入宽 d 的矩形场,恰好从对边射出。临界=圆与对边相切→r=d。故 v_min=qBd/m。若 r<d 则出不去(从进入边折回),r>d 则从对边穿出且偏转角 sinθ=d/r。
陷阱:不把「恰好」当相切,去凑碰点;忘了切点处半径垂直边界;只求一个临界漏掉另一端。
触发信号:「从 P 点向各个方向发射」「放射源」「速率相同方向不同」,问能到达的区域或恰好打到某点。
标准动作:半径 r 相同→所有圆心在以 P 为心、r 为半径的圆上;能到达的最远=2r(包络大圆)。判断某点能否被打到:看它与 P 的距离是否 ≤2r,再定具体入射方向。
示例(带解):放射源在 P,各向发射,r 相同。距 P 为 L 的目标:若 L>2r,任何方向都打不到;若 L≤2r,存在入射方向使轨迹经过它(该轨迹圆过 P 和目标点,圆心在两点中垂线与 P 的 r 圆的交点)。
陷阱:忘了圆心的轨迹是圆、包络是 2r;只考虑一个方向,漏掉对称的另一条到达路径。
触发信号:题干只说「带电粒子」不指正负;或速度大小/方向留有余地;问「所有可能的…」。
标准动作:逐项排查四个「没说死」——电荷正负(偏转两侧,镜像双解)、速度大小(圆族,答案是范围)、进入方向(圆心绕圈)、周期性(加 nT)。每一项都独立写出对应解。
示例(带解):「带电粒子从 P 沿 x 正向射入(未指正负),求打在上边界的位置」。正电荷向上偏、负电荷向下偏(不打上边界或从另一点)→ 至少两解;若还未定速率,则每种电荷各是一段位置范围。
陷阱:默认正电荷只写一个;只算一个速度;忽略周期性回到导致的重复解。
触发信号:磁场限制在矩形条带或圆形区域内,问穿出点、偏转角、弦长、能否穿越。
标准动作:矩形:比较 r 与场宽 d(r≥d 才穿对边),偏转 sinθ=d/r;圆形:用「沿半径进→沿半径出」的对称性,tan(θ/2)=R/r 类关系。一律先画「场边界+轨迹圆+连心线」的几何图。
示例(带解):粒子沿半径方向射入半径 R 的圆形场,轨迹半径 r。由对称性它沿半径射出,弦长和偏转角由直角三角形(R、r、连心线)定:tan(θ/2)=R/r。r≫R 时几乎不偏转;r 越小偏转越大。
陷阱:圆形场不用对称性硬算;矩形场忘了 r<d 时粒子从进入边折返而非穿出。
① 圆心在垂直速度方向上(洛伦兹力⊥速度、指向圆心),不在速度方向上。画错圆心=全盘皆错。
② 周期 T=2πm/(qB) 与速度无关!快粒子走大圈,慢粒子走小圈,用时相同。转过 θ 的时间只看 θ 和 T。
③ 「恰好射出边界」=轨迹圆与边界相切,切点处半径垂直边界。这是临界的唯一严格翻译。
④ 只说「带电粒子」未指正负 → 必有偏转方向相反的双解(镜像对称),别只写正电荷。
⑤ 速度大小未定 → 是一簇圆,答案往往是范围;用相切写出最大/最小半径两个临界。
⑥ 放射源各向发射(r 相同)→ 圆心在半径 r 的圆上,能到达最远=2r(包络大圆)。
⑦ 问时间/位置要考虑周期性:t=nT+t₀,可能转了 n 圈回到同一位置,别漏掉 nT。
⑧ 半径 r=mv/(qB)=p/(qB);已知动能先换 p=√(2mEk),别直接拿 Ek 代入 r 公式。
⑨ 矩形场 r<d 时粒子从进入边折返(出不去),不是穿到对边;r≥d 才能穿出对边。
① 「画圆定圆心」是磁场题的通用算法: 不管题多花,固定套路是——过入射点作速度垂线(圆心在其上,距 r);若知两点作中垂线取交点;由 F=qv×B 定偏向哪侧。圆一画对,弦长、圆心角、偏转角、出射点全靠平面几何(垂径、正弦、勾股)推出,物理只剩 r=mv/(qB) 这一步。把几何练熟,磁场题就变纯几何题。
② 多解是「约束不足」的信号,四问法收全: 每道磁场题问自己四句——电荷正负定了吗?速度大小定了吗?进入方向定了吗?会不会转整数圈回来?哪个「没定」,哪个就产生一组解。养成四问的习惯,再不会漏解。反过来,题目若把这些都锁死,答案就唯一——先判断有几个自由度。
③ 临界即极值,极值即相切: 「最大/最小速度」「至少多大 B」这类极值,几何上都对应轨迹圆与某边界相切的临界位形。先想清楚「往哪个方向变会越界」,把临界位形画成相切,一个方程锁死。相切条件(切点半径⊥边界)几乎总比列不等式更快。
④ 包络思想统一发散类问题: 相同 r、不同方向的一大堆轨迹,与其一条条画,不如抓「圆心轨迹(半径 r 的圆)」和「外包络(半径 2r 的圆)」两条边界,可达区域一目了然。速度不定则半径连续变,包络变成一片扇形/环形区域——用边界圆刻画整族,秒判可达性。
⑤ 对称性是圆形场的杀手锏: 「沿半径进→沿半径出」不是巧合,是圆形场的镜像对称必然。凡入射线过场心,轨迹关于「入射点-场心-出射点」构成的图对称,tan(θ/2)=R/r 一步给偏转角。识别对称,能把复杂几何压成一个直角三角形。
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