电源有内阻,所以「路端电压」会随外电路变。滑动变阻器一动,各个电表读数跟着变——这就是动态电路。这页给你一条铁律 E=I(R+r),一套「先局部后整体」的动态分析流程,再用六七个可拖动的动画把电流、电压、功率、效率的变化拨给你亲眼看。
电动势 E: 电源把其他形式的能转化成电能的本领,数值上等于电源没接外电路(开路)时两极间的电压。E 是电源自身属性,不随外电路 R 改变。
内阻 r: 电源内部也有电阻,电流流过内部时也会产生「内电压 U内=Ir」的损耗。r 同样是电源自身属性。
| 外电阻 R 变化 | 电流 I | 内压 U内=Ir | 路端电压 U外=E−Ir |
|---|---|---|---|
| R 增大 | 减小 ↓ | 减小 ↓ | 增大 ↑ |
| R 减小 | 增大 ↑ | 增大 ↑ | 减小 ↓ |
| R→∞(断路/开路) | I=0 | 0 | U外=E(最大) |
| R→0(短路) | I=E/r(最大) | =E | U外=0 |
⚠ 记住这条单调关系:R↑ → I↓ → U外↑。开路时路端电压等于电动势 E(此时才能用电压表直接测 E);短路时路端电压为 0、电流最大 E/r,非常危险。
灯泡亮度 ∝ 消耗功率 UI。把 R 拖到很小(接近短路)看 I 飙升、U外 塌到 0;把 R 拖到很大看 U外 升到接近 E。
P总 = P出 + P内,即 EI = I²R + I²r。
R 越大,η 越高(越接近 1);r 越小,同样 R 下效率越高。但效率高 ≠ 输出功率大。
P出 关于 R 是先增后减的「山峰」,峰顶在 R=r。此时 η=50%(输出与内耗各占一半)。R 大于 r 或小于 r,输出功率都比峰值小。
⚠ 别把「输出功率最大」和「效率最大」搞混:输出功率最大在 R=r 时(η 只有 50%);效率最大要 R→∞(但此时电流趋 0,输出功率也趋 0)。二者不可兼得。
当 R=r 时红点爬到山顶。R<r(左坡)或 R>r(右坡)输出功率都下降。E 固定取 6V。
效率永远单调随 R 上升,R=r 时恰好 50%。注意它跟输出功率曲线的形状完全不同(那个是山峰)。
串联: 各电阻分压,R 大的分得多;电流处处相等。某电阻↑ → 它分压↑,其余分压↓。
并联: 各支路分电流,R 小的分得多;电压处处相等。「并联总阻比最小的还小」。
并联支路里某电阻变: 先看这条并联的等效电阻怎么变 → 影响 R总 → 影响干路 I 与 U外 → 再回并联内部分配。
⚠ 顺序不能乱!必须「先局部(谁变)→后整体(R总、I、U外)→再回局部(支路)」。跳步最容易在「与变阻器并联的那个电表」上判错方向。
稳定后电容器不通电流(支路无电流),电容所在支路的电阻上没有电压降。电容两端电压 = 与它并联的那部分电路两端电压。
动态变化时:先按纯电阻电路求出电容并联处的电压 U_C,再由 Q=CU_C 求电荷量。U_C 变 → 电容充放电。
⚠ 求电容电压别把它当电阻串进去算电流!它稳态下电流为 0,只「跟着」并联部分的电压走。
| 故障 | 该处电流 | 该处电压表现象 | 判断要点 |
|---|---|---|---|
| 某电阻断路 | 该支路 I=0(串联则全路 I=0) | 并联在断路两端的电压表读数变大(≈U外或E) | 灯不亮、电流表读 0,电压表却有示数 |
| 某电阻短路 | 电流增大(该电阻被旁路) | 被短路电阻两端电压表读数变为 0 | 其他电阻分压变大、可能变亮 |
⚠ 电流表(理想内阻 0)相当于导线,并联在谁两端就把谁短路;电压表(理想内阻 ∞)相当于断路,串在电路里会使该支路电流为 0。这是故障题与「电表接法」题的核心。
电路:E、r 串联定值电阻 R₀=3Ω 再串滑动变阻器 R。拖 R 增大 → R总↑ → 干路 I↓ → U外↑,同时 R₀ 分压↓、变阻器分压↑。看提示把因果链背下来。
把 R 从 0 扫到 ∞,路端电压 U外=E·R/(R+r) 从 0 单调上升趋近 E。R=r 时 U外=E/2。这条曲线是「R↑→U外↑」的最直观证据。
另一个常考图是「U-I 图」:U外=E−Ir 是一条直线,纵截距=E,斜率绝对值=r(实验测 E、r 就靠它)。
E 固定 6V。曲线随 R 单调上升逼近水平虚线 U=E,但永远达不到(除非真正开路)。
电路:E=6V,r=1Ω,R₁=2Ω 与 R₂=3Ω 串联(R₁处带灯泡)。切换故障看现象:断路处电压表反而有大示数,短路处电压表变 0。
触发信号:给两组(U外, I)数据,或给 U-I 图像 / U-R 图,求 E、r。
标准动作:两组数据代入 U₁=E−I₁r、U₂=E−I₂r 联立解 E、r;图像法:U-I 直线纵截距=E、斜率绝对值=r。
示例(带解):I₁=1A 时 U₁=5.5V,I₂=2A 时 U₂=5V。相减:0.5=1·r → r=0.5Ω;回代 E=U₁+I₁r=5.5+0.5=6V。
陷阱:U-I 图斜率是负的,r 取绝对值;若坐标是 U-R 图则是曲线,不能当直线读斜率。
触发信号:「R 增大/减小,路端电压如何变」或求 R→0、R→∞ 极端值。
标准动作:用 U外=E−Ir 与 I=E/(R+r):R↑→I↓→U外↑;开路 U外=E,短路 U外=0。
示例(带解):E=6V,r=1Ω。R=5Ω:I=6/6=1A,U外=6−1=5V;R=11Ω:I=0.5A,U外=5.5V。R 变大 U外 变大,验证单调关系。
陷阱:误以为「R 增大用电器分得电压多是因为电流也大」——其实电流是减小的,是内耗减小才让 U外 升。
触发信号:滑动变阻器滑片移动,问某电流表/电压表读数如何变。
标准动作:先局部后整体:定 R总变化→干路 I→路端 U外→回支路定各表。与变阻器串联的表跟着干路走,并联在别处的表要用 U外 倒推。
示例(带解):E、r 串 R₀ 串变阻器 R。R 增大→R总↑→I↓(电流表↓)→U外↑;R₀ 上电压=IR₀↓,变阻器上电压=U外−IR₀↑。
陷阱:含并联时最易错。务必先判并联等效阻怎么变,再走整体,最后回并联内部。
触发信号:求电源总功率、输出功率、内耗功率、效率 η。
标准动作:P总=EI、P出=U外I=I²R、P内=I²r、η=U外/E=R/(R+r)。
示例(带解):E=6V,r=1Ω,R=2Ω。I=6/3=2A;P总=12W,P出=I²R=8W,P内=I²r=4W,η=8/12≈66.7%。
陷阱:把「效率」当「输出功率」;或用 P出=EI(那是总功率)。η=U外/E 只与 R、r 比值有关。
触发信号:「R 取何值时电源输出功率最大」「最大输出功率是多少」。
标准动作:P出=E²R/(R+r)²,由均值不等式当 R=r 时最大,P出max=E²/(4r);此时 η=50%。
示例(带解):E=6V,r=2Ω。R=r=2Ω 时输出功率最大 =6²/(4×2)=36/8=4.5W;此时 I=6/4=1.5A,U外=3V=E/2。
陷阱:若 R 有取值范围限制(如变阻器只到某值),峰值不一定取得到,要看端点比较。
触发信号:某灯不亮 / 电表异常,判断哪里断路或短路。
标准动作:电流表读 0→有支路断路;电压表读数异常大且并联在某元件两端→该元件断路;某处电压变 0 且电流变大→该处短路。
示例(带解):串联电路灯不亮、电流表读 0,但并联在灯两端的电压表有接近 E 的示数 → 灯(该支路)断路,全部电压加在断口上。
陷阱:电压表(内阻∞)串进电路会让该支路无电流;电流表(内阻0)并联会短路元件——审题先看电表理想化假设。
① 「R 增大路端电压 U外 也增大」是对的!很多人凭直觉觉得 R 大电流小 U 该小——错。是内耗 Ir 减小让 U外=E−Ir 升高。
② 电流表理想内阻=0(相当导线),电压表理想内阻=∞(相当断路)。故障题、接法题全靠这两句。
③ 动态分析顺序:先局部(谁变)→整体(R总、I、U外)→再回局部(支路),不能跳步。
④ 短路电流 I=E/r(不是 E/R!),此时 U外=0、内耗全占,电流最大、最危险。
⑤ 输出功率最大(R=r,η=50%)≠ 效率最大(R→∞)。两者不能同时达到。
⑥ 电容器稳态不通电流,其电压=并联部分电压,别把它当电阻串进电流计算。
⑦ 求 E、r:U-I 图斜率取绝对值=r,纵截距=E;U-R 图是曲线不能读斜率。
⑧ 开路时才有 U外=E,平时电压表读的是路端电压(略小于 E),不是电动势。
① 把电源看成「E 串一个 r」的模型: 任何闭合电路都能画成理想电源 E 后面串一个内阻 r,再接外电路。所有结论(U外=E−Ir、效率、最大功率)都从这一张等效图推出来,不用死记。
② U-I 图的双重身份: 一条 U-I 直线既能代表「电源特性」(U外=E−Ir,负斜率),也能画「用电器特性」(U=IR,过原点正斜率),两线交点就是实际工作点(I、U外)。图解法秒解很多联立题。
③ 最大输出功率的本质是「阻抗匹配」: R=r 时输出功率最大,是均值不等式 R+r≥2√(Rr) 取等的结果。理解「内外阻相等时能量分配最有利于外电路」,以后遇到变形题(如含多个电阻的等效)都能迁移。
④ 动态分析用「不变量」当锚: E、r 不变是分析动态电路的定海神针。抓住 I=E/(R总+r) 这个总闸门:一切变化最终都归结为 R总 怎么变,再一步步往下传。养成「先求 R总 单调性」的习惯。
⑤ 并联支路的「反向」直觉: 与变阻器并联的电阻,常出现「变阻器阻值增大反而它电流减小/增大」的反直觉结论。破解办法:永远回到 U外 和并联结构精确计算,不要凭「串联感觉」猜并联,这是拉开尖子生与普通学生的分水岭。
thebest2dan · 物理攻坚包 · 配套:电磁感应攻坚包 · 物理多过程攻坚包